BÀI 1. KHÁI NIỆM VECTƠ

Giải: Định nghĩa: hai vectơ bằng nhau (cùng \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\)) khi  cùng phương, cùng chiều và có cùng độ dài. \[ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\quad\Leftrightarrow\quad \text{chúng song song, cùng chiều và }|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CD}|. \] Vì vậy đáp án đúng là A.

Giải: Mỗi vectơ được xác định bởi một cặp có thứ tự \((\text{điểm đầu},\text{điểm cuối})\) khác nhau. Với 4 điểm phân biệt có \(4\) lựa chọn điểm đầu và \(3\) lựa chọn điểm cuối (không được trùng), tổng số vectơ (không phải vectơ không) là \[ 4\times3 = 12. \] Đáp án: C.

Giải: Trong hình bình hành \(ABCD\) ta có \( \overrightarrow{AB}\parallel\overrightarrow{CD}\) và \( \overrightarrow{AD}\parallel\overrightarrow{BC}\). Vì vậy vectơ cùng phương với \(\overrightarrow{AB}\) là \(\overrightarrow{CD}\). (Lưu ý: \(\overrightarrow{BA}\) thì cùng phương nhưng ngược chiều.) Đáp án: B.

Giải: Trong hình bình hành \(ABCD\), ta có \(\overrightarrow{BC}\parallel\overrightarrow{AD}\). Với thứ tự đỉnh thông thường (A→B→C→D), hai vectơ \(\overrightarrow{BC}\) và \(\overrightarrow{AD}\) có cùng chiều. Do đó đáp án đúng là A.

Giải: Vectơ ngược hướng của \(\overrightarrow{CD}\) là \(\overrightarrow{DC}\) (đổi thứ tự hai điểm). Do đó đáp án D là đúng. (Lưu ý: ở đây B và D trùng nội dung do mục lựa chọn; đáp án đúng là vectơ ngược chiều \(\overrightarrow{DC}\).)

Giải: Vectơ đối của \(\overrightarrow{AD}\) là vectơ cùng phương nhưng ngược chiều và cùng độ dài, tức là \(\overrightarrow{DA}\). Đáp án: B. (Ở đây A/B trùng nội dung — đáp án chính xác là vectơ \(\overrightarrow{DA}\).)

Giải: Gọi vectơ vị trí: \(\overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\ \overrightarrow{OB}=\mathbf{b},\ \overrightarrow{OC}=\mathbf{c}\). Khi đó \[ \overrightarrow{M}=\tfrac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{2},\quad \overrightarrow{P}=\tfrac{\mathbf{a}+\mathbf{c}}{2}. \] Do đó \[ \overrightarrow{MP}=\overrightarrow{P}-\overrightarrow{M}=\tfrac{\mathbf{a}+\mathbf{c}}{2}-\tfrac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{2}=\tfrac{\mathbf{c}-\mathbf{b}}{2}=\tfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}. \] Tìm các cặp điểm \(X\to Y\) trong tập \(\{A,B,C,M,N,P\}\) thoả \(\overrightarrow{XY}=\tfrac{\mathbf{c}-\mathbf{b}}{2}\). Các vectơ đó là: \(\overrightarrow{MP},\ \overrightarrow{BN},\ \overrightarrow{NC}\). Vậy có 3 vectơ bằng \(\overrightarrow{MP}\). Đáp án: C.

Giải: \(\overrightarrow{AB}\) chính là cạnh của hình vuông có độ dài \(a\). Vì vậy \(|\overrightarrow{AB}|=a\). Đáp án: A.

Giải: \(\overrightarrow{AC}\) là đường chéo hình vuông cạnh \(a\) nên theo định lý Py-ta-go: \[ |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}. \] Đáp án: C.

Giải: Gọi các đỉnh \(A,B,C,D,E,F\) theo thứ tự quanh tâm \(O\). Vectơ \(\overrightarrow{OA}\) hướng từ tâm ra đỉnh \(A\). Vectơ cùng phương (cùng đường thẳng qua tâm) với \(\overrightarrow{OA}\) là vectơ đi về đỉnh đối diện -- tức \(\overrightarrow{OD}\) (ngược hướng so với \(\overrightarrow{OA}\)). Do đó đáp án: B.