Mind Map

BÀI 1. KHÁI NIỆM VECTƠ

1. Định nghĩa vectơ

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ

Độ dài của vectơ kí hiệu là: $\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB$

2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng

Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau.

Hai vectơ cùng hướng là hai vectơ cùng phương và cùng hướng về một phía.

Hai vectơ ngược hướng là hai vectơ cùng phương nhưng hướng và hai phía khác nhau.

3. Vectơ bằng nhau- Vectơ đối nhau

Hai vectơ bằng nhau là hai vectơ cùng hướng và cùng độ dài.

Hai vectơ đối nhau là hai vectơ ngược hướng nhưng cùng độ dài.

4. Vectơ-không

Vetơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Kí hiệu:$\overrightarrow{0}$

Vetơ-không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ

Ví dụ 1–6

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 Đề bài

Cho tứ giác $ABCD$. Hãy chỉ ra các vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của tứ giác.

Lời giải:

Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của tứ giác gồm: $\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{CA},\ \overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{DA},\ \overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{CB},\ \overrightarrow{BD},\ \overrightarrow{DB},\ \overrightarrow{CD},\ \overrightarrow{DC}$.

Tất cả các vectơ này đều khác vectơ không vì điểm đầu và điểm cuối khác nhau.

Ví dụ 2 Đề bài

Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 1$ (đơn vị) và $AD = h$. Tính độ dài các vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{DA}$ và nêu các vectơ cùng phương.

Lời giải:

$|\overrightarrow{AB}| = 1$, $|\overrightarrow{DA}| = h$, $|\overrightarrow{BD}| = \sqrt{1^2 + h^2}$.

Các vectơ cùng phương: $\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{AD} \parallel \overrightarrow{BC}$.

Ví dụ 3 Đề bài

Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh $a$, $M$ là trung điểm của $BC$. Biểu diễn $\overrightarrow{AM}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.

Lời giải:

Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$.

Ví dụ 4 Đề bài

Cho hình vuông $ABCD$. Xét mối quan hệ giữa các vectơ: (a) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$; (b) $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$.

Lời giải:

a) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng phương, cùng hướng và bằng nhau về độ lớn.

b) Hai đường chéo $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ có cùng độ dài và vuông góc với nhau.

Ví dụ 5 Đề bài

Cho hình chữ nhật $ABCD$. Xét các vectơ $\overrightarrow{AD},\ \overrightarrow{CB},\ \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{BD}$ và nhận xét cặp nào bằng nhau, cùng phương hoặc vuông góc.

Lời giải:

$\overrightarrow{AD} \parallel \overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{BC}$.

Hai đường chéo $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ bằng nhau về độ dài, cắt nhau tại trung điểm, nhưng không cùng phương (trừ khi là hình vuông).

Ví dụ 6 Đề bài

Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $O$. Biểu diễn $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OD}$ theo nhau và chứng minh $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$.

Lời giải:

Vì $O$ là giao điểm hai đường chéo nên là trung điểm của $AC$ và $BD$.

Suy ra $\overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{OC}$ và $\overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OD}$.

Do đó $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}$.