BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV SGK Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Trang 71 - 72)

Hai vectơ \(\vec{x} = (x_1; y_1)\) và \(\vec{y} = (x_2; y_2)\) cùng phương khi có một số \(k\) sao cho \(\vec{x} = k\vec{y}\), hay tỉ số các tọa độ bằng nhau.

Xét phương án B: \(\vec{a} = (\sqrt{2}; 6)\) và \(\vec{b} = (1; 3\sqrt{2})\).
Ta có: \(\frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2}\) và \(\frac{6}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\).
Do đó \(\vec{a} = \sqrt{2}\vec{b}\), nên hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) cùng phương.

Chọn B.

Hai vectơ vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0.

Xét phương án C: \(\vec{z} = (a; b)\) và \(\vec{t} = (-b; a)\).
Ta có tích vô hướng: \(\vec{z} \cdot \vec{t} = a \cdot (-b) + b \cdot a = -ab + ab = 0\).
Do đó \(\vec{z} \perp \vec{t}\).

Chọn C.

Độ dài vectơ \(\vec{u} = (x; y)\) được tính theo công thức \(|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}\).

Xét phương án D: \(\vec{d} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{-1}{\sqrt{2}}\right)\).
Độ dài: \(|\vec{d}| = \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1\).

Chọn D.

Áp dụng công thức tính cosin góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{1 \cdot (-2) + (-1) \cdot 0}{\sqrt{1^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{(-2)^2 + 0^2}} = \frac{-2}{\sqrt{2} \cdot 2} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Suy ra góc giữa hai vectơ là \((\vec{a}, \vec{b}) = 135^\circ\).

Chọn C.

Theo tính chất phân phối của tích vô hướng đối với phép trừ vectơ: \(\vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c}\).

Chọn D.

Xét hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\):
- Đường chéo \(AC = a\sqrt{2}\).
- Góc giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(BC\) là góc \(\widehat{ACB} = 45^\circ\).
- Tọa độ vectơ: \((\vec{AC}, \vec{BC}) = \widehat{ACB} = 45^\circ\).
- Tích vô hướng: \(\vec{AC} \cdot \vec{BC} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(\vec{AC}, \vec{BC}) = a\sqrt{2} \cdot a \cdot \cos 45^\circ = a^2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a^2\).

Do đó phương án B đúng cả hai ý.

Chọn B.

• a) Mối liên hệ giữa \(\vec{MB}\) và \(\vec{MC}\):
  Vì \(M\) nằm trên cạnh \(BC\) nên hai vectơ \(\vec{MB}\) và \(\vec{MC}\) ngược hướng nhau.
  Độ dài thỏa mãn \(MB = 3MC\).
  Vậy \(\vec{MB} = -3\vec{MC}\).
• b) Biểu thị \(\vec{AM}\) theo \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\):
  Từ đẳng thức \(\vec{MB} = -3\vec{MC} \Leftrightarrow \vec{MB} + 3\vec{MC} = \vec{0}\).
  Chèn điểm \(A\) vào đẳng thức: \[ (\vec{AB} - \vec{AM}) + 3(\vec{AC} - \vec{AM}) = \vec{0} \] \[ \Leftrightarrow \vec{AB} - \vec{AM} + 3\vec{AC} - 3\vec{AM} = \vec{0} \] \[ \Leftrightarrow \vec{AB} + 3\vec{AC} = 4\vec{AM} \] \[ \Leftrightarrow \vec{AM} = \frac{1}{4}\vec{AB} + \frac{3}{4}\vec{AC} \]

Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) của hình bình hành \(ABCD\).
Khi đó \(O\) vừa là trung điểm của \(AC\), vừa là trung điểm của \(BD\).

Theo tính chất trung điểm, với mọi điểm \(M\), ta có:
- \(O\) là trung điểm \(AC \Rightarrow \vec{MA} + \vec{MC} = 2\vec{MO}\)
- \(O\) là trung điểm \(BD \Rightarrow \vec{MB} + \vec{MD} = 2\vec{MO}\)

Từ đó suy ra: \(\vec{MA} + \vec{MC} = \vec{MB} + \vec{MD} = 2\vec{MO}\) (đpcm).

• a) Tọa độ các vectơ \(\vec{BA}\) và \(\vec{BC}\):
  \(\vec{BA} = (2 - (-2); 1 - 5) = (4; -4)\)
  \(\vec{BC} = (-5 - (-2); 2 - 5) = (-3; -3)\)
• b) Chứng minh tam giác \(ABC\) vuông; tính diện tích và chu vi:
  Tính tích vô hướng của \(\vec{BA}\) và \(\vec{BC}\): \[ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 4 \cdot (-3) + (-4) \cdot (-3) = -12 + 12 = 0 \] Do đó \(\vec{BA} \perp \vec{BC}\), suy ra tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\).
  
  Độ dài hai cạnh góc vuông:
  \(BA = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)
  \(BC = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)
  
  Độ dài cạnh huyền \(AC\):
  \(AC = \sqrt{BA^2 + BC^2} = \sqrt{32 + 18} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)
  
  - Diện tích tam giác \(ABC\): \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} BA \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 12 \]
  - Chu vi tam giác \(ABC\): \[ P = BA + BC + AC = 4\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \]
• c) Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\):
  \[ x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{2 + (-2) + (-5)}{3} = \frac{-5}{3} \] \[ y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{1 + 5 + 2}{3} = \frac{8}{3} \]
  Vậy \(G\left(-\frac{5}{3}; \frac{8}{3}\right)\).
• d) Tìm tọa độ điểm \(D\) để tứ giác \(BCAD\) là hình bình hành:
  Tứ giác \(BCAD\) là hình bình hành khi và chỉ khi \(\vec{BD} = \vec{BC} + \vec{BA}\) (hoặc \(\vec{CD} = \vec{BA}\)).
  Gọi \(D(x; y)\), ta có \(\vec{CD} = (x - (-5); y - 2) = (x + 5; y - 2)\).
  Mà \(\vec{BA} = (4; -4)\). Vì \(\vec{CD} = \vec{BA}\) nên: \[ \begin{cases} x + 5 = 4 \\ y - 2 = -4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -1 \\ y = -2 \end{cases} \]
  Vậy điểm cần tìm là \(D(-1; -2)\).

• a) Tọa độ các vectơ \(\vec{AB}\) và \(\vec{CD}\):
  \(\vec{AB} = (3 - 1; 4 - 2) = (2; 2)\)
  \(\vec{CD} = (6 - (-1); 5 - (-2)) = (7; 7)\)
• b) Giải thích \(\vec{AB}\) và \(\vec{CD}\) cùng phương:
  Ta có \(\vec{CD} = (7; 7) = \frac{7}{2}(2; 2) = \frac{7}{2}\vec{AB}\).
  Vì \(\vec{CD} = \frac{7}{2}\vec{AB}\) nên hai vectơ \(\vec{AB}\) và \(\vec{CD}\) cùng phương.
• c) Tìm \(a\) để \(\vec{AC}\) và \(\vec{BE}\) cùng phương:
  \(\vec{AC} = (-1 - 1; -2 - 2) = (-2; -4)\)
  \(\vec{BE} = (a - 3; 1 - 4) = (a - 3; -3)\)
  Hai vectơ \(\vec{AC}\) và \(\vec{BE}\) cùng phương khi và chỉ khi: \[ \frac{a - 3}{-2} = \frac{-3}{-4} \Leftrightarrow \frac{a - 3}{-2} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow a - 3 = -\frac{6}{4} = -1,5 \Leftrightarrow a = 1,5 \]
  Vậy \(a = 1,5 = \frac{3}{2}\).
• d) Biểu thị \(\vec{AE}\) theo \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\):
  Khi \(a = \frac{3}{2}\), tọa độ \(E\left(\frac{3}{2}; 1\right)\).
  \(\vec{AE} = \left(\frac{3}{2} - 1; 1 - 2\right) = \left(\frac{1}{2}; -1\right)\).
  Giả sử \(\vec{AE} = m\vec{AB} + n\vec{AC}\).
  Thay tọa độ vào: \[ \left(\frac{1}{2}; -1\right) = m(2; 2) + n(-2; -4) = (2m - 2n; 2m - 4n) \] \[ \Leftrightarrow \begin{cases} 2m - 2n = \frac{1}{2} \\ 2m - 4n = -1 \end{cases} \Rightarrow 2n = \frac{3}{2} \Rightarrow n = \frac{3}{4} \] \[ 2m = 2\left(\frac{3}{4}\right) + \frac{1}{2} = 2 \Rightarrow m = 1 \]
  Vậy \(\vec{AE} = \vec{AB} + \frac{3}{4}\vec{AC}\).

Đặt \(\vec{u} = \frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}\).

- Tính độ dài của \(\vec{u}\): \[ |\vec{u}| = \left| \frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a} \right| = \left| \frac{1}{|\vec{a}|} \right| \cdot |\vec{a}| = \frac{1}{|\vec{a}|} \cdot |\vec{a}| = 1 \] Do độ dài bằng 1 nên \(\vec{u}\) là một vectơ đơn vị.

- Xét hướng của \(\vec{u}\):
Vì độ dài \(|\vec{a}| > 0\) nên hệ số \(k = \frac{1}{|\vec{a}|} > 0\).
Do \(k > 0\) nên vectơ \(\vec{u} = k\vec{a}\) cùng hướng với vectơ \(\vec{a}\).

Giả sử trong hệ trục tọa độ \(Oxy\) gắn với các vectơ đơn vị \(\vec{i} = \vec{a}, \vec{j} = \vec{b}\), vectơ \(\vec{u}\) có tọa độ là \((x; y)\).
Khi đó ta biểu diễn được: \(\vec{u} = x\vec{a} + y\vec{b}\).

• a) Chứng minh tọa độ của \(\vec{u}\) là \((\vec{u} \cdot \vec{a}; \vec{u} \cdot \vec{b})\):
  Tính tích vô hướng của \(\vec{u}\) với \(\vec{a}\): \[ \vec{u} \cdot \vec{a} = (x\vec{a} + y\vec{b}) \cdot \vec{a} = x\vec{a}^2 + y(\vec{a} \cdot \vec{b}) \] Vì \(|\vec{a}| = 1 \Rightarrow \vec{a}^2 = 1\) và \(\vec{a} \perp \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0\).
  Do đó: \(\vec{u} \cdot \vec{a} = x \cdot 1 + y \cdot 0 = x\).
  
  Tương tự, tính tích vô hướng của \(\vec{u}\) với \(\vec{b}\): \[ \vec{u} \cdot \vec{b} = (x\vec{a} + y\vec{b}) \cdot \vec{b} = x(\vec{a} \cdot \vec{b}) + y\vec{b}^2 = x \cdot 0 + y \cdot 1 = y \]
  Vậy tọa độ của \(\vec{u}\) chính là \((x; y) = (\vec{u} \cdot \vec{a}; \vec{u} \cdot \vec{b})\).
• b) Chứng minh \(\vec{u} = (\vec{u} \cdot \vec{a})\vec{a} + (\vec{u} \cdot \vec{b})\vec{b}\):
  Từ câu a, ta có hoành độ \(x = \vec{u} \cdot \vec{a}\) và tung độ \(y = \vec{u} \cdot \vec{b}\).
  Thay \(x\) và \(y\) vào biểu thức \(\vec{u} = x\vec{a} + y\vec{b}\), ta được: \[ \vec{u} = (\vec{u} \cdot \vec{a})\vec{a} + (\vec{u} \cdot \vec{b})\vec{b} \quad (\text{đpcm}) \]

Gọi các vectơ vận tốc:
- \(\vec{v}\) là vận tốc tổng hợp của ca nô so với bờ (\(|\vec{v}| = 20\) km/h theo hướng S\(15^\circ\)E).
- \(\vec{v}_n\) là vận tốc của dòng nước chảy theo hướng Đông (\(|\vec{v}_n| = 3\) km/h).
- \(\vec{v}_r\) là vận tốc riêng của ca nô so với nước.

Theo công thức cộng vận tốc: \[ \vec{v} = \vec{v}_r + \vec{v}_n \Rightarrow \vec{v}_r = \vec{v} - \vec{v}_n \]

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho gốc \(O\) là vị trí ca nô, trục \(Ox\) hướng về phía Đông, trục \(Oy\) hướng về phía Bắc.
- Hướng Nam tương ứng với chiều âm trục \(Oy\).
- Hướng S\(15^\circ\)E tạo với chiều âm của trục \(Oy\) góc \(15^\circ\) nghiêng về phía bên phải (phía Đông).
Góc giữa \(\vec{v}\) và chiều dương trục \(Ox\) là: \(90^\circ - 15^\circ = 75^\circ\) (nằm ở góc phần tư thứ IV, tức tung độ âm).

Tọa độ các vectơ vận tốc:
- \(\vec{v} = \left(20 \cdot \cos(-75^\circ); 20 \cdot \sin(-75^\circ)\right) = \left(20 \cdot \sin 15^\circ; -20 \cdot \cos 15^\circ\right)\)
- \(\vec{v}_n = (3; 0)\)

Suy ra tọa độ vectơ vận tốc riêng \(\vec{v}_r = \vec{v} - \vec{v}_n\): \[ \vec{v}_r = (20 \sin 15^\circ - 3; -20 \cos 15^\circ) \]

Tính độ lớn vận tốc riêng \(|\vec{v}_r|\): \[ |\vec{v}_r|^2 = (20 \sin 15^\circ - 3)^2 + (-20 \cos 15^\circ)^2 \] \[ = 400 \sin^2 15^\circ - 120 \sin 15^\circ + 9 + 400 \cos^2 15^\circ \] \[ = 400 (\sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ) + 9 - 120 \sin 15^\circ \] \[ = 400 + 9 - 120 \sin 15^\circ = 409 - 120 \sin 15^\circ \approx 409 - 31,06 = 377,94 \]

\[ |\vec{v}_r| = \sqrt{377,94} \approx 19,44 \text{ km/h} \]

Kết luận: Vận tốc riêng của ca nô có độ lớn khoảng 19,44 km/h.