Câu 1. Cho số thực \(k < 0\) và vectơ \(\vec{a} \neq \vec{0}\). Khẳng định nào sau đây là **đúng** về tích \(k\vec{a}\)?
Giải thích: Theo định nghĩa, khi \(k < 0\), tích \(k\vec{a}\) là một vectơ ngược hướng với vectơ \(\vec{a}\) và có độ dài bằng \(\vert{}k\vert{} \cdot \vert{}\vec{a}\vert{}\).
Câu 2. Cho đoạn thẳng \(AB\) có trung điểm là \(I\). Với điểm \(M\) bất kỳ, đẳng thức nào sau đây là **đúng**?
Giải thích: Vì \(I\) là trung điểm của \(AB\), nên với điểm \(M\) bất kỳ ta có tính chất trung điểm: \(\vec{MA} + \vec{MB} = 2\vec{MI}\).
Câu 3. Cho tam giác \(ABC\) có trọng tâm \(G\). Với điểm \(M\) tùy ý, biểu diễn vectơ \(\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC}\) theo \(\vec{MG}\) là:
Giải thích: Theo tính chất trọng tâm tam giác, với mọi điểm \(M\) ta luôn có \(\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = 3\vec{MG}\).
Câu 4. Cho hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) không cùng phương. Khẳng định nào sau đây là **đúng** về điều kiện để điểm \(C\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\)?
Giải thích: Điểm \(C\) nằm giữa hai điểm \(A\) và \(B\) khi và chỉ khi hai vectơ \(\vec{AC}\) và \(\vec{AB}\) cùng hướng và độ dài \(AC < AB\). Do đó \(\vec{AC} = k\vec{AB}\) với \(0 < k < 1\).
Câu 5. Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(MB = 2MC\). Mối liên hệ nào sau đây là **đúng**?
Giải thích: Vì \(M\) thuộc đoạn \(BC\) và \(MB = 2MC\) nên \(\vec{BM} = \frac{2}{3}\vec{BC}\).
Ta có \(\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM} = \vec{AB} + \frac{2}{3}\vec{BC} = \vec{AB} + \frac{2}{3}(\vec{AC} - \vec{AB}) = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{2}{3}\vec{AC}\).
Câu 6. Biến đổi biểu thức \(u = 2(\vec{a} - 3\vec{b}) - 3(2\vec{a} - \vec{b})\) về dạng rút gọn ta được:
Giải thích: Phân tích và nhóm các vectơ đồng dạng:
\(\vec{u} = 2\vec{a} - 6\vec{b} - 6\vec{a} + 3\vec{b} = (2 - 6)\vec{a} + (-6 + 3)\vec{b} = -4\vec{a} - 3\vec{b}\).
Câu 7. Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\). Độ dài của vectơ \(\vert{}2\vec{AB}\vert{}\) bằng:
Giải thích: Ta có \(\vert{}2\vec{AB}\vert{} = \vert{}2\vert{} \cdot \vert{}\vec{AB}\vert{} = 2 \cdot AB = 2a\).
Câu 8. Cho hình bình hành \(ABCD\). Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo. Mối quan hệ nào sau đây là **sai**?
Giải thích: Theo quy tắc hình bình hành: \(\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}\). Mà \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(\vec{AC} = 2\vec{AO}\). Do đó \(\vec{AB} + \vec{AD} = 2\vec{AO}\) mới là khẳng định ĐÚNG. Khẳng định D ghi sai thành \(2\vec{AO}\) (nếu đáp án D ghi khác hoặc ở đây D là đúng thì xét lại: \(\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC} = 2\vec{AO}\), vậy đáp án D đúng. Hãy kiểm tra lựa chọn ghi sai: D đúng ra phải là \(\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AO}\) để thành phát biểu Sai).
Sửa lại phân tích: Khẳng định D đề bài ghi sai khi sửa thành \(\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AO}\) (không có số 2). Vì vậy D là mệnh đề SAI.
Câu 9. Cho hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) không cùng phương. Tìm số thực \(k\) sao cho hai vectơ \(\vec{u} = \vec{a} + 2\vec{b}\) và \(\vec{v} = 3\vec{a} + k\vec{b}\) cùng phương.
Giải thích: Để \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) cùng phương thì tồn tại số \(m\) sao cho \(\vec{v} = m\vec{u}\).
\(\Leftrightarrow 3\vec{a} + k\vec{b} = m(\vec{a} + 2\vec{b}) \Leftrightarrow 3\vec{a} + k\vec{b} = m\vec{a} + 2m\vec{b}\).
Do \(\vec{a}, \vec{b}\) không cùng phương nên \(\begin{cases} m = 3 \\ k = 2m \end{cases} \Rightarrow k = 2 \cdot 3 = 6\).
Câu 10 Thực tế. Một lực sĩ kéo một chiếc xe bằng một sợi dây tạo với phương nằm ngang một lực \(\vec{F}\). Nếu lực sĩ dùng một lực khác \(\vec{F}'\) có cùng hướng với \(\vec{F}\) nhưng độ lớn gấp \(1,5\) lần độ lớn của \(\vec{F}\), thì mối quan hệ giữa hai vectơ lực \(\vec{F}'\) và \(\vec{F}\) được biểu diễn là:
Giải thích:
- Vì lực \(\vec{F}'\) cùng hướng với lực \(\vec{F}\) nên hằng số nhân \(k > 0\).
- Độ lớn của \(\vec{F}'\) gấp \(1,5\) lần độ lớn của \(\vec{F}\) nên \(\vert{}\vec{F}'\vert{} = 1,5 \vert{}\vec{F}\vert{}\).
Do đó, biểu diễn theo tích vectơ với một số là \(\vec{F}' = 1,5 \vec{F}\).