10-c4-b9. Tích của một vectơ với một số-LT

Bài học Toán THPT - Tích Của Một Vectơ Với Một Số

1. Khái niệm tích của một vectơ với một số

📌 Định nghĩa:

Cho một số thực \(k \ne 0\) và một vectơ \(\vec{a} \ne \vec{0}\). Tích của số \(k\) với vectơ \(\vec{a}\) là một vectơ, ký hiệu là \(k\vec{a}\), được xác định như sau:

Cùng hướng với \(\vec{a}\) nếu \(k > 0\).
Ngược hướng với \(\vec{a}\) nếu \(k < 0\).
Có độ dài bằng \(|k| \cdot |\vec{a}|\).

💡 Quy ước đặc biệt:

• \(0 \cdot \vec{a} = \vec{0}\)

• \(k \cdot \vec{0} = \vec{0}\)

2. Tính chất của phép nhân vectơ với một số

📌 Với hai vectơ \(\vec{a}, \vec{b}\) bất kỳ và hai số thực \(k, h\), ta có:

\(k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}\)
\(k(\vec{a} - \vec{b}) = k\vec{a} - k\vec{b}\)
\((k + h)\vec{a} = k\vec{a} + h\vec{a}\)
\(k(h\vec{a}) = (kh)\vec{a}\)
\(1 \cdot \vec{a} = \vec{a}\)
\((-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}\)

💡 Nhận xét: \(k\vec{a} = \vec{0} \iff k = 0\) hoặc \(\vec{a} = \vec{0}\).

3. Điều kiện hai vectơ cùng phương & Ba điểm thẳng hàng

📌 Điều kiện hai vectơ cùng phương:

Hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) (\(\vec{b} \ne \vec{0}\)) cùng phương khi và chỉ khi có một số thực \(k\) sao cho:

\[ \vec{a} = k\vec{b} \]

💡 Điều kiện ba điểm thẳng hàng:

Ba điểm phân biệt \(A, B, C\) thẳng hàng khi và chỉ khi có số thực \(k \ne 0\) sao cho:

\[ \overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC} \]

4. Biểu diễn vectơ & Các hệ thức trọng tâm, trung điểm

📌 Biểu diễn (phân tích) một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:

Cho hai vectơ không cùng phương \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\). Mọi vectơ \(\vec{x}\) đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

\[ \vec{x} = m\vec{a} + n\vec{b} \quad (m, n \in \mathbb{R}) \]

Các hệ thức quan trọng cần nhớ:

1. Hệ thức Trung điểm:

Nếu \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\), với mọi điểm \(M\) bất kỳ ta có:

\[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI} \Rightarrow \overrightarrow{MI} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}) \]

2. Hệ thức Trọng tâm tam giác:

Nếu \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\):

• \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}\)

• Với mọi điểm \(M\) bất kỳ: \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG} \Rightarrow \overrightarrow{MG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC})\)

5. Ví dụ minh họa & Bài tập tự luyện

Ví dụ 1 Biểu diễn vectơ trong tam giác

Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow{AM}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\).

Lời giải:

Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), áp dụng hệ thức trung điểm với điểm gốc là \(A\), ta có:

\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AM} \] \[ \Rightarrow \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \]

Ví dụ 2 Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Cho tam giác \(ABC\). Lấy các điểm \(D, E\) sao cho \(\overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AE} = 3\overrightarrow{AC}\). Chứng minh rằng \(DE \parallel BC\).

Lời giải:

Sử dụng quy tắc trừ biến đổi vectơ \(\overrightarrow{DE}\):

\[ \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AC} - 3\overrightarrow{AB} = 3(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) \] \[ \Rightarrow \overrightarrow{DE} = 3\overrightarrow{BC} \]

Vì \(\overrightarrow{DE} = 3\overrightarrow{BC}\) nên \(\overrightarrow{DE}\) và \(\overrightarrow{BC}\) cùng phương. Do \(D\) không nằm trên đường thẳng \(BC\), suy ra \(DE \parallel BC\).

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho tam giác \(ABC\) có trọng tâm \(G\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AG\). Biểu diễn \(\overrightarrow{BM}\) theo \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\).