BÀI 9: TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ SGK Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Trang 59)

Vì \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\) nên \(\vec{BM} = \frac{1}{2}\vec{BC}\).
Mặt khác, vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\vec{BC} = \vec{AD}\).
Do đó, \(\vec{BM} = \frac{1}{2}\vec{AD}\).

Áp dụng quy tắc ba điểm đối với tổng hai vectơ, ta có: \[ \vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD} \]

Vậy \(\vec{AM} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD}\).

1. Chứng minh \(\vec{BC} + \vec{AD} = 2\vec{MN}\):

Theo quy tắc chèn điểm, ta có:
\(\vec{BC} = \vec{BM} + \vec{MN} + \vec{NC}\)
\(\vec{AD} = \vec{AM} + \vec{MN} + \vec{ND}\)

Cộng vế với vế hai đẳng thức trên, ta được: \[ \vec{BC} + \vec{AD} = (\vec{BM} + \vec{AM}) + 2\vec{MN} + (\vec{NC} + \vec{ND}) \]

Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(\vec{AM} + \vec{BM} = \vec{0}\) (hay \(\vec{BM} = -\vec{AM}\)).
Vì \(N\) là trung điểm của \(CD\) nên \(\vec{NC} + \vec{ND} = \vec{0}\).

Suy ra: \(\vec{BC} + \vec{AD} = \vec{0} + 2\vec{MN} + \vec{0} = 2\vec{MN}\) (1).

2. Chứng minh \(\vec{AC} + \vec{BD} = 2\vec{MN}\):

Tương tự, biến đổi các vectơ \(\vec{AC}\) và \(\vec{BD}\) qua đoạn \(MN\):
\(\vec{AC} = \vec{AM} + \vec{MN} + \vec{NC}\)
\(\vec{BD} = \vec{BM} + \vec{MN} + \vec{ND}\)

Cộng vế với vế hai đẳng thức trên: \[ \vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{AM} + \vec{BM}) + 2\vec{MN} + (\vec{NC} + \vec{ND}) = 2\vec{MN} \quad (2) \]

Từ (1) và (2) suy ra: \(\vec{BC} + \vec{AD} = 2\vec{MN} = \vec{AC} + \vec{BD}\) (đpcm).

• a) Xác định điểm \(K\):
  Ta có: \(\vec{KA} + 2\vec{KB} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{KA} = -2\vec{KB}\).
  Đẳng thức này cho thấy hai vectơ \(\vec{KA}\) và \(\vec{KB}\) ngược hướng nhau và có độ dài thỏa mãn \(KA = 2KB\).
  Do đó, điểm \(K\) nằm trên đoạn thẳng \(AB\) sao cho \(K\) nằm giữa \(A\) và \(B\) và chia đoạn thẳng \(AB\) thành 3 phần bằng nhau sao cho \(AK = 2KB\).
• b) Chứng minh \(\vec{OK} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB}\):
  Với điểm \(O\) bất kỳ, chèn điểm \(O\) vào đẳng thức \(\vec{KA} + 2\vec{KB} = \vec{0}\): \[ (\vec{OA} - \vec{OK}) + 2(\vec{OB} - \vec{OK}) = \vec{0} \] \[ \Leftrightarrow \vec{OA} - \vec{OK} + 2\vec{OB} - 2\vec{OK} = \vec{0} \] \[ \Leftrightarrow \vec{OA} + 2\vec{OB} = 3\vec{OK} \] \[ \Leftrightarrow \vec{OK} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB} \quad (\text{đpcm}) \]

• a) Xác định điểm \(M\):
  Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(AB\).
  Theo tính chất trung điểm, ta có \(\vec{MA} + \vec{MB} = 2\vec{MI}\).
  Thay vào đẳng thức đề bài: \[ 2\vec{MI} + 2\vec{MC} = \vec{0} \Leftrightarrow 2(\vec{MI} + \vec{MC}) = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{MI} + \vec{MC} = \vec{0} \]
  Đẳng thức \(\vec{MI} + \vec{MC} = \vec{0}\) chứng tỏ \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(IC\).
  Vậy điểm \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng nối đỉnh \(C\) với trung điểm \(I\) của cạnh \(AB\).
• b) Chứng minh \(\vec{OA} + \vec{OB} + 2\vec{OC} = 4\vec{OM}\):
  Với điểm \(O\) bất kỳ, chèn điểm \(M\) vào vế trái của đẳng thức: \[ \text{VT} = \vec{OA} + \vec{OB} + 2\vec{OC} \] \[ = (\vec{OM} + \vec{MA}) + (\vec{OM} + \vec{MB}) + 2(\vec{OM} + \vec{MC}) \] \[ = (\vec{OM} + \vec{OM} + 2\vec{OM}) + (\vec{MA} + \vec{MB} + 2\vec{MC}) \]
  Vì \(\vec{MA} + \vec{MB} + 2\vec{MC} = \vec{0}\) (theo câu a), suy ra: \[ \text{VT} = 4\vec{OM} + \vec{0} = 4\vec{OM} = \text{VP} \quad (\text{đpcm}) \]

Từ Hình 4.30, ta nhận thấy:
- Hai lực \(\vec{F_1}\) và \(\vec{F_2}\) có phương vuông góc với nhau (vì góc giữa chúng là \(90^\circ\)).
- Góc tạo bởi lực \(\vec{F_2}\) và \(\vec{F_3}\) là \(120^\circ\).
- Do \(\vec{F_1} \perp \vec{F_2}\) nên góc giữa \(\vec{F_1}\) và \(\vec{F_3}\) là \(360^\circ - 90^\circ - 120^\circ = 150^\circ\).

Vì ba lực cân bằng nên \(\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = \vec{0} \Rightarrow \vec{F_1} + \vec{F_2} = -\vec{F_3}\).
Dựng hình chữ nhật với hai cạnh là \(\vec{F_1}\) và \(\vec{F_2}\), khi đó đường chéo chính là \(\vec{F_1} + \vec{F_2}\), có độ lớn đúng bằng \(|\vec{F_3}|\).

Trong tam giác vuông tạo bởi các vectơ lực:
- Góc kề với \(\vec{F_2}\) tạo bởi đường chéo đối của \(\vec{F_3}\) là \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).
- Do đó: \[ \tan 60^\circ = \frac{|\vec{F_1}|}{|\vec{F_2}|} \Rightarrow |\vec{F_2}| = \frac{|\vec{F_1}|}{\tan 60^\circ} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \text{ (N)} \] \[ \sin 60^\circ = \frac{|\vec{F_1}|}{|\vec{F_3}|} \Rightarrow |\vec{F_3}| = \frac{|\vec{F_1}|}{\sin 60^\circ} = \frac{20}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{40}{\sqrt{3}} = \frac{40\sqrt{3}}{3} \text{ (N)} \]

Kết luận:
Độ lớn của lực \(\vec{F_2}\) là \(\frac{20\sqrt{3}}{3} \text{ N} \approx 11,55 \text{ N}\).
Độ lớn của lực \(\vec{F_3}\) là \(\frac{40\sqrt{3}}{3} \text{ N} \approx 23,09 \text{ N}\).