Câu 1. Cho ba điểm bất kỳ \(A, B, C\). Đẳng thức nào sau đây là **đúng** (Quy tắc ba điểm đối với tổng)?
Giải thích: Theo quy tắc ba điểm đối với tổng vectơ, với ba điểm \(A, B, C\) bất kỳ ta luôn có \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\).
Câu 2. Cho hình bình hành \(ABCD\). Đẳng thức nào sau đây đúng theo quy tắc hình bình hành?
Giải thích: Nếu \(ABCD\) là hình bình hành thì tổng hai vectơ chung gốc chung cạnh bằng vectơ đường chéo xuất phát từ gốc đó: \(\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}\).
Câu 3. Cho ba điểm bất kỳ \(O, A, B\). Vectơ \(\vec{AB}\) được biểu diễn theo hiệu hai vectơ cùng gốc \(O\) là:
Giải thích: Theo quy tắc trừ (quy tắc hiệu hai vectơ cùng gốc): \(\vec{OB} - \vec{OA} = \vec{AB}\).
Câu 4. Cho đoạn thẳng \(AB\) có trung điểm là \(I\). Đẳng thức nào sau đây là **đúng**?
Giải thích: Vì \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên hai vectơ \(\vec{IA}\) và \(\vec{IB}\) là hai vectơ đối nhau (cùng độ dài, ngược hướng). Do đó \(\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}\).
Câu 5. Cho tam giác \(ABC\) có trọng tâm \(G\). Khẳng định nào sau đây là **đúng**?
Giải thích: Theo tính chất trọng tâm tam giác, điểm \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) khi và chỉ khi \(\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}\).
Câu 6. Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Độ dài của vectơ \(\vec{AB} + \vec{AD}\) bằng:
Giải thích: Theo quy tắc hình bình hành, \(\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}\).
Suy ra \(\vert{}\vec{AB} + \vec{AD}\vert{} = \vert{}\vec{AC}\vert{} = AC\).
Đường chéo hình vuông cạnh \(a\) có độ dài \(AC = a\sqrt{2}\).
Câu 7. Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Độ dài của vectơ \(\vec{AB} - \vec{AC}\) bằng:
Giải thích: Áp dụng quy tắc hiệu: \(\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}\).
Do đó \(\vert{}\vec{AB} - \vec{AC}\vert{} = \vert{}\vec{CB}\vert{} = CB = a\).
Câu 8. Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\). Độ dài của tổng hai vectơ \(\vec{AB} + \vec{AC}\) bằng:
Giải thích: Dựng hình bình hành \(ABDC\). Do \(\Delta ABC\) đều nên hình bình hành \(ABDC\) là hình thoi.
Theo quy tắc hình bình hành: \(\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{AD}\).
Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\), ta có \(AD = 2AM = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}\).
Vậy \(\vert{}\vec{AB} + \vec{AC}\vert{} = a\sqrt{3}\).
Câu 9. Biểu thức tổng \(\vec{MN} + \vec{PQ} + \vec{RN} + \vec{NP} + \vec{QR}\) sau khi thu gọn bằng:
Giải thích: Sắp xếp và giao hoán các vectơ liên tiếp điểm nối điểm:
\(T = \vec{MN} + (\vec{NP} + \vec{PQ}) + (\vec{QR} + \vec{RN})\)
\(T = \vec{MN} + \vec{NQ} + \vec{QN} = \vec{MN} + (\vec{NQ} + \vec{QN}) = \vec{MN} + \vec{NN} = \vec{MN} + \vec{0} = \vec{MN}\).
Câu 10 Thực tế. Một con thuyền di chuyển trên một sông rộng. Động cơ tạo cho thuyền một vận tốc \(\vec{v}_1\) có độ lớn \(12\text{ km/h}\) theo hướng vuông góc với dòng chảy. Dòng nước chảy với vận tốc \(\vec{v}_2\) có độ lớn \(5\text{ km/h}\) theo hướng song song với bờ sông. Vận tốc thực tế của con thuyền đối với bờ sông là tổng \(\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2\). Độ lớn của vận tốc thực tế này bằng:
Giải thích:
Vì hướng di chuyển của động cơ vuông góc với hướng dòng nước nên hai vectơ vận tốc \(\vec{v}_1\) và \(\vec{v}_2\) vuông góc với nhau.
Áp dụng quy tắc hình bình hành (ở đây là hình chữ nhật), độ lớn vận tốc tổng hợp là:
\(\vert{}\vec{v}\vert{} = \sqrt{\vert{}\vec{v}_1\vert{}^2 + \vert{}\vec{v}_2\vert{}^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\text{ km/h}\).