Bài học Toán THPT - Tổng Và Hiệu Của Hai Vectơ

📘 BÀI HỌC TOÁN 10: TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ

Chương IV: Vectơ - Bài 8 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống)

📚 Nội dung bài học

1. Tổng của hai vectơ

📌 Định nghĩa tổng của hai vectơ:

Cho hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\). Lấy một điểm \(A\) tùy ý, vẽ \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\) và \(\overrightarrow{BC} = \vec{b}\). Khi đó, vectơ \(\overrightarrow{AC}\) được gọi là tổng của hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\), ký hiệu là \(\vec{a} + \vec{b}\).

\[ \vec{a} + \vec{b} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \]

Các quy tắc cộng vectơ cơ bản:

💡 1. Quy tắc Ba điểm (Quy tắc nối đuôi):

Với ba điểm bất kỳ \(A, B, C\), ta luôn có:

\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \]

Mẹo nhớ: Điểm cuối của vectơ trước là điểm đầu của vectơ sau.

💡 2. Quy tắc Hình bình hành (Cùng chung gốc):

Nếu \(ABCD\) là một hình bình hành thì:

\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} \]

Mẹo nhớ: Tổng của hai vectơ cạnh chung gốc bằng vectơ đường chéo xuất phát từ gốc đó.

2. Tính chất của phép cộng vectơ

📌 Với mọi vectơ \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\), ta có các tính chất:
  • Tính chất giao hoán: \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}\)
  • Tính chất kết hợp: \((\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})\)
  • Tính chất cộng với vectơ-không: \(\vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a}\)
💡 Bất đẳng thức độ dài vectơ:

Với hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) bất kỳ, ta luôn có:

\[ |\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}| \]

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) cùng hướng.

3. Hiệu của hai vectơ

📌 Vectơ đối:

• Vectơ có cùng độ dài nhưng ngược hướng với vectơ \(\vec{a}\) được gọi là vectơ đối của \(\vec{a}\), ký hiệu là \(-\vec{a}\).

• Tổng của hai vectơ đối nhau bằng vectơ-không: \(\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}\).

• Vectơ đối của \(\overrightarrow{AB}\) là \(\overrightarrow{BA}\): \(-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}\).

📌 Định nghĩa hiệu hai vectơ:

Hiệu của hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) là tổng của \(\vec{a}\) với vectơ đối của \(\vec{b}\):

\[ \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) \]
💡 Quy tắc Trừ (Quy tắc chung gốc):

Với ba điểm bất kỳ \(O, A, B\), ta luôn có:

\[ \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AB} \]

Mẹo nhớ: Hai vectơ chung gốc trừ nhau \(\rightarrow\) vectơ kết quả đi từ ĐIỂM SAU đến ĐIỂM TRƯỚC (\(A \rightarrow B\)).

📌 Tính chất Trung điểm:

\(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\).

Với mọi điểm \(M\) bất kỳ: \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}\).

4. Ví dụ minh họa & Luyện tập

Ví dụ 1 Áp dụng quy tắc biến đổi biểu thức vectơ

Cho 4 điểm bất kỳ \(A, B, C, D\). Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}\).

Lời giải:

Biến đổi vế trái (VT) bằng cách chèn điểm \(D\) vào \(\overrightarrow{AB}\) theo quy tắc 3 điểm:

\[ \text{VT} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}) + \overrightarrow{CD} \]

Sắp xếp lại các vectơ và áp dụng quy tắc 3 điểm cho \(\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DB}\):

\[ \text{VT} = \overrightarrow{AD} + (\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DB}) = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} = \text{VP (ĐPCM)} \]
Ví dụ 2 Tính độ dài vectơ tổng trong hình vuông

Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Tính độ dài của vectơ \(\vec{u} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\) và \(\vec{v} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}\).

Lời giải:

1. Vì \(ABCD\) là hình vuông nên áp dụng quy tắc hình bình hành:

\[ \vec{u} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} \Rightarrow |\vec{u}| = |\overrightarrow{AC}| = AC \]

Đường chéo hình vuông cạnh \(a\) có độ dài \(AC = a\sqrt{2}\). Vậy \(|\vec{u}| = a\sqrt{2}\).

2. Áp dụng quy tắc trừ cho hai vectơ chung gốc \(A\):

\[ \vec{v} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB} \Rightarrow |\vec{v}| = |\overrightarrow{DB}| = DB \]

Vì \(DB\) cũng là đường chéo hình vuông nên \(DB = a\sqrt{2}\). Vậy \(|\vec{v}| = a\sqrt{2}\).

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho hình bình hành \(ABCD\) tâm \(O\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \vec{0}\).

Bài 2: Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\). Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\).

5. Vận dụng thực tế & Mẹo ghi nhớ

🌐 Ứng dụng thực tế - Hợp lực và Chuyển động:

• Tổng hợp lực trong Vật lý: Khi hai lực \(\vec{F}_1, \vec{F}_2\) cùng tác dụng vào một vật tại điểm \(O\), hợp lực tác dụng lên vật chính là tổng vectơ \(\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2\) (xác định theo quy tắc hình bình hành).

• Chuyển động thuyền qua sông: Vận tốc thực tế của thuyền \(\vec{v}_{\text{thực}}\) bằng vận tốc của thuyền so với nước \(\vec{v}_{\text{thuyền}}\) cộng với vận tốc dòng nước \(\vec{v}_{\text{nước}}\): \(\vec{v}_{\text{thực}} = \vec{v}_{\text{thuyền}} + \vec{v}_{\text{nước}}\).

💡 Mẹo phân biệt quy tắc Cộng và Trừ:
  • Quy tắc 3 điểm (Cộng - Nối đuôi): \(\overrightarrow{A\mathbf{B}} + \overrightarrow{\mathbf{B}C} = \overrightarrow{AC}\) (chữ cái trung gian ở giữa biến mất).
  • Quy tắc Trừ (Chung gốc): \(\overrightarrow{\mathbf{O}B} - \overrightarrow{\mathbf{O}A} = \overrightarrow{AB}\) (lấy điểm SAU ghép với điểm TRƯỚC).