Giải Bài Tập Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ - Toán 10 KNTT

BÀI 8: TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ SGK Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Trang 54)

Bài 4.6: Cho bốn điểm \(A, B, C, D\). Chứng minh rằng:

a) \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{0}\);
b) \(\vec{AC} - \vec{AD} = \vec{BC} - \vec{BD}\).
Lời giải:
  • a) Áp dụng quy tắc Ba điểm cộng liên tiếp:
    \(\text{VT} = (\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{AD} + \vec{DA} = \vec{AA} = \vec{0} = \text{VP}\) (đpcm).
  • b) Áp dụng quy tắc Trừ hai vectơ cùng gốc:
    \(\text{VT} = \vec{AC} - \vec{AD} = \vec{DC}\).
    \(\text{VP} = \vec{BC} - \vec{BD} = \vec{DC}\).
    Do đó \(\text{VT} = \text{VP} = \vec{DC}\) (đpcm).
Bài 4.7: Cho hình bình hành \(ABCD\). Hãy tìm điểm \(M\) để \(\vec{BM} = \vec{AB} + \vec{AD}\). Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ \(\vec{CD}\) và \(\vec{CM}\).
Lời giải:
  • Vì \(ABCD\) là hình bình hành, theo quy tắc hình bình hành ta có: \(\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}\).
    Do đó, \(\vec{BM} = \vec{AC}\).
    Điều này chứng tỏ tứ giác \(ABMC\) là một hình bình hành.
    Suy ra điểm \(M\) là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(ABMC\).
  • Mối quan hệ giữa \(\vec{CD}\) và \(\vec{CM}\):
    Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\vec{CD} = \vec{BA}\).
    Do \(ABMC\) là hình bình hành nên \(\vec{CM} = \vec{AB}\).
    Mặt khác, \(\vec{BA} = -\vec{AB}\), do đó \(\vec{CD} = -\vec{CM}\) (hay \(\vec{CD}\) và \(\vec{CM}\) là hai vectơ đối nhau, cùng độ dài nhưng ngược hướng).
Bài 4.8: Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(a\). Tính độ dài của các vectơ \(\vec{AB} - \vec{AC}\) và \(\vec{AB} + \vec{AC}\).
Lời giải:
  • Tính \(|\vec{AB} - \vec{AC}|\):
    Theo quy tắc trừ: \(\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}\).
    Suy ra \(|\vec{AB} - \vec{AC}| = |\vec{CB}| = CB = a\).
  • Tính \(|\vec{AB} + \vec{AC}|\):
    Gọi \(H\) là trung điểm của cạnh \(BC\).
    Theo tính chất trung điểm, ta có \(\vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AH}\).
    Do \(\triangle ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), đường cao \(AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).
    Do đó, \(|\vec{AB} + \vec{AC}| = |2\vec{AH}| = 2 AH = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}\).
Bài 4.9: Hình 4.19 biểu diễn hai lực \(\vec{F_1}, \vec{F_2}\) cùng tác động lên một vật, cho \(|\vec{F_1}| = 3\text{ N}\), \(|\vec{F_2}| = 2\text{ N}\). Tính độ lớn của hợp lực \(\vec{F_1} + \vec{F_2}\).
Lời giải:

Dựng hình bình hành \(OADB\) với \(\vec{OA} = \vec{F_1}\) và \(\vec{OB} = \vec{F_2}\).
Hợp lực của hai lực là \(\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2} = \vec{OD}\) (theo quy tắc hình bình hành).

Góc giữa hai lực là \(\widehat{AOB} = 120^\circ\).
Trong hình bình hành \(OADB\), góc \(\widehat{OAD} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).
Độ dài các cạnh: \(OA = |\vec{F_1}| = 3\text{ N}\), \(AD = OB = |\vec{F_2}| = 2\text{ N}\).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(OAD\) để tìm độ dài đường chéo \(OD\): \[ OD^2 = OA^2 + AD^2 - 2 \cdot OA \cdot AD \cdot \cos \widehat{OAD} \] \[ OD^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ \] \[ OD^2 = 9 + 4 - 12 \cdot \frac{1}{2} = 13 - 6 = 7 \] \[ \Rightarrow OD = \sqrt{7}\text{ (N)} \]

Vậy độ lớn của hợp lực \(\vec{F_1} + \vec{F_2}\) bằng \(\sqrt{7}\text{ N} \approx 2,65\text{ N}\).

Bài 4.10: Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này để sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không đổi và có độ lớn bằng nhau. Hai tàu luôn được giữ lái sao cho chúng tạo với bờ cùng một góc nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng nguồn (hình bên). Vận tốc dòng nước là đáng kể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng tới vận tốc của các tàu. Hỏi tàu nào sang bờ bên kia trước?
Lời giải:

Gọi \(\vec{v}_r\) là vận tốc riêng của tàu (có độ lớn \(v_r\)) và \(\vec{v}_n\) là vận tốc của dòng nước (song song với bờ sông).
Vận tốc thực tế của mỗi con tàu khi sang sông là tổng vectơ: \(\vec{v} = \vec{v}_r + \vec{v}_n\).

Thời gian một con tàu để sang bờ bên kia phụ thuộc duy nhất vào thành phần vận tốc vuông góc với bờ sông (\(v_\perp\)).

Vì:
1. Độ lớn vận tốc riêng của hai tàu bằng nhau (\(v_{r1} = v_{r2}\)).
2. Hai tàu tạo với bờ cùng một góc nhọn \(\alpha\).
3. Vận tốc của dòng nước \(\vec{v}_n\) hoàn toàn song song với bờ sông nên thành phần vuông góc với bờ sông của dòng nước bằng \(0\).

Do đó, thành phần vận tốc vuông góc với bờ sông của cả hai tàu đều bằng: \[ v_\perp = v_r \cdot \sin \alpha \]

Vì thành phần vận tốc vuông góc với bờ sông của hai tàu là như nhau và chiều rộng lòng sông không đổi, nên hai con tàu sẽ sang bờ bên kia cùng một lúc.