Câu 1. Phát biểu nào sau đây là **đúng** về khái niệm vectơ?
Giải thích: Theo định nghĩa, vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm đầu và cuối của đoạn thẳng đã được chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối.
Câu 2. Cho hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\). Độ dài của vectơ \(\vec{AB}\) được kí hiệu và xác định như thế nào?
Giải thích: Độ dài của vectơ \(\vec{AB}\) là khoảng cách giữa điểm đầu \(A\) và điểm cuối \(B\), kí hiệu là \(\vert{}\vec{AB}\vert{}\). Ta có \(\vert{}\vec{AB}\vert{} = AB\).
Câu 3. Điều kiện cần và đủ để hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) (khác \(\vec{0}\)) **cùng phương** là:
Giải thích: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Câu 4. Hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) được gọi là **bằng nhau** (\(\vec{a} = \vec{b}\)) khi và chỉ khi:
Giải thích: Định nghĩa hai vectơ bằng nhau: Hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.
Câu 5. Phát biểu nào sau đây là **sai** khi nói về vectơ-không (kí hiệu là \(\vec{0}\))?
Giải thích: Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, độ dài bằng \(0\) và cùng phương với mọi vectơ. Do đó phát biểu B ("có độ dài bằng 1") là sai.
Câu 6. Cho hình vuông \(ABCD\). Có bao nhiêu vectơ **khác \(\vec{0}\)** có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình vuông?
Giải thích: Chọn điểm đầu có 4 cách, chọn điểm cuối khác điểm đầu có 3 cách. Số vectơ tạo thành là \(4 \times 3 = 12\) vectơ:
\(\vec{AB}, \vec{BA}, \vec{BC}, \vec{CB}, \vec{CD}, \vec{DC}, \vec{DA}, \vec{AD}, \vec{AC}, \vec{CA}, \vec{BD}, \vec{DB}\).
Câu 7. Cho hình bình hành \(ABCD\). Khẳng định nào sau đây là **đúng**?
Giải thích: Trong hình bình hành \(ABCD\), hai đoạn thẳng \(AB\) và \(DC\) song song và bằng nhau. Hướng từ \(A\) đến \(B\) trùng với hướng từ \(D\) đến \(C\). Do đó \(\vec{AB} = \vec{DC}\).
Câu 8. Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Độ dài của vectơ \(\vec{AM}\) bằng:
Giải thích: Ta có \(\vert{}\vec{AM}\vert{} = AM\). Vì \(AM\) là đường cao trong tam giác đều cạnh \(a\) nên \(AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}\). Vậy \(\vert{}\vec{AM}\vert{} = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).
Câu 9. Cho ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng theo thứ tự đó (\(B\) nằm giữa \(A\) và \(C\)). Cặp vectơ nào sau đây **ngược hướng**?
Giải thích: Vì \(B\) nằm giữa \(A\) và \(C\), nên hướng từ \(B\) đến \(A\) (sang trái) ngược với hướng từ \(B\) đến \(C\) (sang phải). Do đó hai vectơ \(\vec{BA}\) và \(\vec{BC}\) ngược hướng.
Câu 10 Thực tế. Một máy bay \(A\) đang bay về hướng Bắc với vận tốc có độ lớn \(600\text{ km/h}\), được biểu diễn bởi vectơ vận tốc \(\vec{v}_A\). Cùng lúc đó, máy bay \(B\) bay về hướng Nam với cùng tốc độ \(600\text{ km/h}\), được biểu diễn bởi vectơ vận tốc \(\vec{v}_B\). Mối quan hệ giữa hai vectơ vận tốc \(\vec{v}_A\) và \(\vec{v}_B\) là gì?
Giải thích:
- Hai phương Bắc và Nam nằm trên cùng một đường thẳng Bắc - Nam, nên hai vectơ vận tốc \(\vec{v}_A\) và \(\vec{v}_B\) cùng phương nhưng ngược chiều nhau (ngược hướng).
- Do hai máy bay bay với cùng tốc độ \(600\text{ km/h}\) nên độ dài hai vectơ vận tốc bằng nhau: \(\vert{}\vec{v}_A\vert{} = \vert{}\vec{v}_B\vert{} = 600\text{ km/h}\).
Suy ra \(\vec{v}_A\) và \(\vec{v}_B\) là hai vectơ ngược hướng và có độ dài bằng nhau (hai vectơ đối nhau).