📘 BÀI HỌC TOÁN 10: KHÁI NIỆM VECTƠ
Chương IV: Vectơ - Bài 7 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
1. Khái niệm Vectơ
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, tức là trong hai điểm đầu và cuối của đoạn thẳng đã được chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối.
Ký hiệu Vectơ:
- Vectơ có điểm đầu \(A\) và điểm cuối \(B\) được ký hiệu là: \(\overrightarrow{AB}\) (đọc là vectơ AB).
- Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối, vectơ còn được ký hiệu là các chữ cái thường có dấu mũi tên trên đầu: \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{u}, \vec{v}, \dots\)
Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Ký hiệu độ dài của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) là \(|\overrightarrow{AB}|\) hoặc \(|\vec{a}|\).
Đặc biệt: \(|\overrightarrow{AB}| = AB\).
2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng
Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.
Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Khi hai vectơ đã cùng phương, chúng có thể:
- Cùng hướng: Hai vectơ hướng về cùng một phía.
- Ngược hướng: Hai vectơ hướng về hai phía ngược nhau.
⚠️ Chú ý: Hai vectơ chỉ có thể xét cùng hướng hay ngược hướng khi chúng ĐÃ CÙNG PHƯƠNG với nhau.
Ba điểm phân biệt \(A, B, C\) thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) cùng phương.
3. Hai vectơ bằng nhau & Vectơ-không
Hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài.
\[ \vec{a} = \vec{b} \iff \begin{cases} \vec{a} \text{ và } \vec{b} \text{ cùng hướng} \\ |\vec{a}| = |\vec{b}| \end{cases} \]• Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau (ví dụ: \(\overrightarrow{AA}, \overrightarrow{BB}\)).
• Ký hiệu: \(\vec{0}\).
• Độ dài của vectơ-không bằng \(0\): \(|\vec{0}| = 0\).
• Quy ước: Vectơ \(\vec{0}\) cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.
Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng có cùng độ dài nhưng ngược hướng. Vectơ đối của \(\overrightarrow{AB}\) là \(\overrightarrow{BA}\), ký hiệu là \(-\overrightarrow{AB}\).
4. Ví dụ minh họa & Luyện tập
Cho hình bình hành \(ABCD\) tâm \(O\). Tìm các vectơ bằng với vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{OB}\).
- Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên cạnh \(AB // CD\) và \(AB = CD\). Vectơ \(\overrightarrow{DC}\) có cùng hướng và độ dài với \(\overrightarrow{AB}\). Vậy \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).
- Vì \(O\) là trung điểm của \(BD\) nên \(OB = DO\) và hai vectơ \(\overrightarrow{DO}\) và \(\overrightarrow{OB}\) cùng hướng. Vậy \(\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{DO}\).
Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\). Chứng minh rằng hai vectơ \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{BC}\) cùng phương và cùng hướng.
1. Do \(M, N\) là trung điểm của \(AB\) và \(AC\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).
2. Suy ra \(MN // BC\), do đó giá của \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{BC}\) song song với nhau \(\implies\) \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{BC}\) cùng phương.
3. Quan sát chiều từ điểm đầu đến điểm cuối, \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{BC}\) đều đi từ trái sang phải nên chúng cùng hướng.
Bài 1: Cho lục giác đều \(ABCDEF\) tâm \(O\). Tìm các vectơ bằng với vectơ \(\overrightarrow{AB}\).
Bài 2: Cho 3 điểm \(A, B, C\) thẳng hàng, điểm \(B\) nằm giữa \(A\) và \(C\). Hỏi hai vectơ \(\overrightarrow{BA}\) và \(\overrightarrow{BC}\) là cùng hướng hay ngược hướng?
5. Vận dụng thực tế & Mẹo ghi nhớ
• Vật lý (Lực và Vận tốc): Lực \(\vec{F}\) kéo một vật không chỉ có độ lớn mà còn có hướng tác dụng; vận tốc \(\vec{v}\) của máy bay thể hiện cả tốc độ và hướng bay.
• Đồ họa máy tính (Vector Graphics): Hình ảnh dạng vector được lưu trữ dưới dạng tọa độ và hướng, giúp phóng to không bị mờ nhòe.
- Đoạn thẳng \(AB\): Không có chiều (\(AB = BA\)).
- Vectơ \(\overrightarrow{AB}\): Có chiều rõ ràng từ \(A\) đến \(B\) (\(\overrightarrow{AB} \ne \overrightarrow{BA}\)).
- Thứ tự kiểm tra 2 vectơ bằng nhau: Song song/trùng giá \(\rightarrow\) Cùng hướng \(\rightarrow\) Cùng độ dài.