Giải Bài Tập Bài 7: Các Khái Niệm Mở Đầu - Toán 10 KNTT

BÀI 7: CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU SGK Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Trang 50)

Bài 4.1: Cho ba vectơ \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) đều khác \(\vec{0}\). Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) đều cùng hướng với \(\vec{0}\);
b) Nếu \(\vec{b}\) không cùng hướng với \(\vec{a}\) thì \(\vec{b}\) ngược hướng với \(\vec{a}\);
c) Nếu \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) đều cùng phương với \(\vec{c}\) thì \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) cùng phương;
d) Nếu \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) đều cùng hướng với \(\vec{c}\) thì \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) cùng hướng.
Lời giải:
  • a) ĐÚNG. Vectơ \(\vec{0}\) cùng hướng (và cùng phương) với mọi vectơ.
  • b) SAI. Nếu \(\vec{b}\) không cùng phương với \(\vec{a}\) thì \(\vec{b}\) sẽ không cùng hướng cũng không ngược hướng với \(\vec{a}\).
  • c) ĐÚNG. Vì \(\vec{c} \neq \vec{0}\), hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) cùng phương với \(\vec{c}\) thì giá của \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) đều song song hoặc trùng với giá của \(\vec{c}\), do đó giá của \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) song song hoặc trùng nhau \(\Rightarrow \vec{a}\) và \(\vec{b}\) cùng phương.
  • d) ĐÚNG. Vì \(\vec{c} \neq \vec{0}\), hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) đều cùng hướng với \(\vec{c}\) nên chúng cùng phương và có cùng chiều với \(\vec{c}\), suy ra \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) cùng hướng.
Bài 4.2: Trong Hình 4.12, hãy chỉ ra các vectơ cùng phương, các cặp vectơ ngược hướng và các cặp vectơ bằng nhau.
Lời giải:

Quan sát Hình 4.12 trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\):

  • Điểm đầu và điểm cuối của \(\vec{a}\) là \((-2; 0)\) và \((0; 4)\) \(\Rightarrow\) vectơ dịch chuyển \((2; 4)\).
  • Điểm đầu và điểm cuối của \(\vec{b}\) là \((-1; 0)\) và \((0; 2)\) \(\Rightarrow\) vectơ dịch chuyển \((1; 2)\).
  • Điểm đầu và điểm cuối của \(\vec{c}\) là \((2; 0)\) và \((0; -4)\) \(\Rightarrow\) vectơ dịch chuyển \((-2; -4)\).
  • Điểm đầu và điểm cuối của \(\vec{d}\) là \((0; 2)\) và \((4; 0)\) \(\Rightarrow\) vectơ dịch chuyển \((4; -2)\).

Kết luận:

  • Các vectơ cùng phương: \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) (do giá của chúng song song với nhau).
  • Các cặp vectơ ngược hướng: \((\vec{a}, \vec{c})\) và \((\vec{b}, \vec{c})\).
  • Các cặp vectơ bằng nhau: Không có cặp vectơ nào bằng nhau trong Hình 4.12 (vì \(\vec{a} = 2\vec{b}\) nên \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) không cùng độ dài; \(\vec{c}\) ngược hướng với \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\)).
Bài 4.3: Chứng minh rằng tứ giác \(ABCD\) là một hình bình hành khi và chỉ khi \(\vec{BC} = \vec{AD}\).
Lời giải:
  • Chiều thuận (\(\Rightarrow\)): Giả sử tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.
    Khi đó, hai cạnh đối \(BC\) và \(AD\) song song và bằng nhau (\(BC \parallel AD\) và \(BC = AD\)).
    Do \(BC \parallel AD\) nên hai vectơ \(\vec{BC}\) và \(\vec{AD}\) cùng phương.
    Theo chiều từ góc của hình bình hành, hai vectơ \(\vec{BC}\) và \(\vec{AD}\) cùng hướng và có cùng độ dài \(|\vec{BC}| = |\vec{AD}|\).
    Suy ra \(\vec{BC} = \vec{AD}\).
  • Chiều đảo (\(\Leftarrow\)): Giả sử \(\vec{BC} = \vec{AD}\).
    Theo định nghĩa hai vectơ bằng nhau, ta có:
    - \(\vec{BC}\) và \(\vec{AD}\) cùng hướng \(\Rightarrow BC \parallel AD\) (hoặc \(BC\) trùng \(AD\)).
    - \(|\vec{BC}| = |\vec{AD}| \Rightarrow BC = AD\).
    Vì \(A, B, C, D\) tạo thành một tứ giác nên các điểm không thẳng hàng, do đó \(BC \parallel AD\).
    Tứ giác \(ABCD\) có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau (\(BC \parallel AD\) và \(BC = AD\)) nên \(ABCD\) là hình bình hành.

Vậy tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi và chỉ khi \(\vec{BC} = \vec{AD}\).

Bài 4.4: Cho hình vuông \(ABCD\) có hai đường chéo cắt nhau tại \(O\). Hãy chỉ ra tập hợp \(S\) gồm tất cả các vectơ khác \(\vec{0}\), có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp \(\{A; B; C; D; O\}\). Hãy chia tập \(S\) thành các nhóm sao cho hai vectơ thuộc cùng một nhóm khi và chỉ khi chúng bằng nhau.
Lời giải:

1. Tập hợp \(S\) gồm tất cả các vectơ khác \(\vec{0}\) tạo từ 5 điểm \(\{A, B, C, D, O\}\):

Số vectơ khác \(\vec{0}\) lấy điểm đầu và điểm cuối từ 5 điểm phân biệt là \(A_5^2 = 20\) vectơ:

\[ S = \{ \vec{AB}, \vec{BA}, \vec{BC}, \vec{CB}, \vec{CD}, \vec{DC}, \vec{DA}, \vec{AD}, \vec{AC}, \vec{CA}, \vec{BD}, \vec{DB}, \vec{AO}, \vec{OA}, \vec{CO}, \vec{OC}, \vec{BO}, \vec{OB}, \vec{DO}, \vec{OD} \} \]

2. Phân chia tập \(S\) thành các nhóm vectơ bằng nhau:

Vì \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), các cặp vectơ bằng nhau được chia thành các nhóm sau:

  • Nhóm 1: \(\{ \vec{AB}, \vec{DC} \}\)
  • Nhóm 2: \(\{ \vec{BA}, \vec{CD} \}\)
  • Nhóm 3: \(\{ \vec{AD}, \vec{BC} \}\)
  • Nhóm 4: \(\{ \vec{DA}, \vec{CB} \}\)
  • Nhóm 5: \(\{ \vec{AO}, \vec{OC} \}\)
  • Nhóm 6: \(\{ \vec{OA}, \vec{CO} \}\)
  • Nhóm 7: \(\{ \vec{BO}, \vec{OD} \}\)
  • Nhóm 8: \(\{ \vec{OB}, \vec{DO} \}\)
  • Nhóm 9: \(\{ \vec{AC} \}\)
  • Nhóm 10: \(\{ \vec{CA} \}\)
  • Nhóm 11: \(\{ \vec{BD} \}\)
  • Nhóm 12: \(\{ \vec{DB} \}\)
Bài 4.5: Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), hãy vẽ các vectơ \(\vec{OA}, \vec{MN}\) với \(A(1; 2), M(0; -1), N(3; 5)\).

a) Chỉ ra mối quan hệ giữa hai vectơ trên.
b) Một vật thể khởi hành từ \(M\) và chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu diễn bởi vectơ \(\vec{v} = \vec{OA}\). Hỏi vật thể đó có đi qua \(N\) hay không? Nếu có thì sau bao lâu vật sẽ tới \(N\)?
Lời giải:
  • a) Mối quan hệ giữa hai vectơ \(\vec{OA}\) và \(\vec{MN}\):
    Tọa độ của vectơ \(\vec{OA} = (1 - 0; 2 - 0) = (1; 2)\).
    Tọa độ của vectơ \(\vec{MN} = (3 - 0; 5 - (-1)) = (3; 6)\).
    Ta thấy: \(\vec{MN} = (3; 6) = 3 \cdot (1; 2) = 3\vec{OA}\).
    Do đó, hai vectơ \(\vec{OA}\) và \(\vec{MN}\) cùng hướng và có độ dài \(|\vec{MN}| = 3|\vec{OA}|\).
  • b) Chuyển động của vật thể:
    Vật thể chuyển động từ \(M\) với vận tốc \(\vec{v} = \vec{OA}\).
    Vì \(\vec{MN} = 3\vec{OA} = 3\vec{v}\), vectơ dịch chuyển từ \(M\) đến \(N\) cùng hướng với vectơ vận tốc \(\vec{v}\).
    Do đó, vật thể có đi qua điểm \(N\).
    Thời gian để vật thể chuyển động từ \(M\) đến \(N\) là: \[ t = \frac{|\vec{MN}|}{|\vec{v}|} = \frac{|3\vec{OA}|}{|\vec{OA}|} = 3 \text{ (giờ)} \]
    Vậy sau 3 giờ thì vật thể sẽ tới \(N\).