BÀI 3. GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ
⏳ Thời gian còn lại: 15:00
Câu 1. Cho tam giác \(ABC\) có \(a=7\), \(b=10\) và góc \(C=60^\circ\) là góc xen giữa \(a\) và \(b\). Tính cạnh \(c\).
Áp dụng định lí côsin:
\[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=7^2+10^2-2\cdot7\cdot10\cos60^\circ=49+100-140\cdot\tfrac{1}{2}=79. \]
\[ c=\sqrt{79}\approx8.888. \]
Câu 2. Cho tam giác \(ABC\) biết \(\angle A=30^\circ,\ \angle B=45^\circ\) và cạnh \(a=10\) (đối diện \(A\)). Tính hai cạnh \(b\) và \(c\).
\(\angle C=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ.\)
Dùng định lí sin:
\[ \frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}\Rightarrow b= a\frac{\sin B}{\sin A}=10\cdot\frac{\sin45^\circ}{\sin30^\circ}=10\cdot\frac{\tfrac{\sqrt2}{2}}{\tfrac{1}{2}}=10\sqrt2. \]
\[ c= a\frac{\sin C}{\sin A}=10\cdot\frac{\sin105^\circ}{\sin30^\circ}=20\sin105^\circ\approx19.319. \]
Câu 3. Cho tam giác \(ABC\) có ba cạnh \(a=8,\ b=7,\ c=9\). Tính ba góc \(A,B,C\) (làm tròn 0.1°).
Dùng định lí côsin cho mỗi góc, ví dụ:
\[ \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{7^2+9^2-8^2}{2\cdot7\cdot9}\Rightarrow A\approx58.41^\circ. \]
Tương tự tính \(B\) và \(C\). Kết quả xấp xỉ \(A\approx58.4^\circ,\ B\approx48.2^\circ,\ C\approx73.4^\circ.\)
Câu 4. (Thực tế) Từ một hải đăng quan sát hai phao, khoảng cách từ hải đăng tới phao \(P_1\) là 300 m, tới phao \(P_2\) là 450 m, góc giữa hai hướng quan sát là \(40^\circ\). Tính khoảng cách \(P_1P_2\).
Dùng định lí côsin:
\[ P_1P_2^2=300^2+450^2-2\cdot300\cdot450\cos40^\circ\Rightarrow P_1P_2\approx292.691\,m. \]
Câu 5. (Thực tế) Một mảnh đất có hai cạnh kề nhau dài 50 m và 70 m, góc xen giữa là \(60^\circ\). Tính độ dài cạnh thứ ba của tam giác thửa đất.
\[ x^2=50^2+70^2-2\cdot50\cdot70\cos60^\circ=2500+4900-7000\cdot\tfrac{1}{2}=3900. \]
\[ x=\sqrt{3900}\approx62.45\ \mathrm{m}. \]
Câu 6. (Thực tế) Hai cột điện cách nhau 120 m và 80 m đến một điểm quan sát tạo thành góc \(110^\circ\) ở điểm quan sát. Tính khoảng cách giữa hai cột.
Áp dụng định lí côsin với hai cạnh 120, 80 và góc xen 110°:
\[ d^2=120^2+80^2-2\cdot120\cdot80\cos110^\circ\Rightarrow d\approx165.43\,m. \]
Câu 7. (Thực tế) Đo khoảng cách qua sông: hai điểm trên cùng bờ cách nhau 200 m, từ hai điểm đó nhìn đến một cây ở bờ bên kia ta đo được góc với đường nối hai điểm lần lượt là \(50^\circ\) và \(60^\circ\). Tính khoảng cách từ điểm trái đến cây (làm tròn 0.1 m).
Gọi tam giác với cạnh đáy \(c=200\) m và góc ở hai đầu là \(A=50^\circ, B=60^\circ\). Góc ở cây là \(C=70^\circ\).
Dùng định lí sin:
\[ a= c\frac{\sin A}{\sin C}=200\cdot\frac{\sin50^\circ}{\sin70^\circ}\approx163.04\,m. \]
Câu 8. (Thực tế) Trong đo đạc, một trụ được nhìn từ hai điểm cách nhau 50 m. Góc nhìn từ hai điểm đó lần lượt là \(40^\circ\) và \(60^\circ\). Tính khoảng cách từ điểm thứ nhất đến trụ.
Gọi cạnh đáy \(c=50\), góc ở hai đầu \(A=40^\circ, B=60^\circ\). Góc ở trụ \(C=80^\circ\).
\[ a=c\frac{\sin A}{\sin C}=50\cdot\frac{\sin40^\circ}{\sin80^\circ}\approx32.635\,m. \]
Câu 9. (Thực tế) Từ hai vị trí cách nhau 120 m, người quan sát thấy góc tới một tàu là \(30^\circ\) và \(45^\circ\). Tính khoảng cách từ vị trí trái đến tàu (làm tròn 0.1 m).
Với đáy \(c=120\) và góc \(A=30^\circ, B=45^\circ\) ta có \(C=105^\circ\).
\[ a=c\frac{\sin A}{\sin C}=120\cdot\frac{\sin30^\circ}{\sin105^\circ}\approx62.12\,m. \]
Câu 10. (Thực tế) Đo chiều cao: hai điểm trên mặt đất cách nhau 40 m đo góc nhìn tới đỉnh một cột lần lượt \(25^\circ\) và \(40^\circ\). Tính khoảng cách thẳng từ điểm trái đến đỉnh (không cần chiều cao riêng biệt).
Gọi đáy \(c=40\), góc \(A=25^\circ, B=40^\circ\) nên \(C=115^\circ\). Ta tính khoảng cách từ điểm trái đến đỉnh:
\[ a= c\frac{\sin A}{\sin C}=40\cdot\frac{\sin25^\circ}{\sin115^\circ}\approx18.65\,m. \]
