BÀI 2. ĐỊNH LÍ CÔSIN VÀ ĐỊNH LÍ SIN
1. Định lí côsin trong tam giác
a. Định lí côsin
▪ \(BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.\cos A\)
▪ \(AC^2=AB^2+BC^2-2AB.BC.\cos B\)
▪ \(AB^2=AC^2+BC^2-2AC.BC.\cos C\)
❑ Nhận xét:
Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại, trừ 2 lần tích hai cạnh ấy, nhân côsin góc xen giữa.
Ví dụ 1: Cho tam giác \(GHK\) có \(HK=15\), \(GK=20\) và \(\widehat{K}=120^\circ\). Tính độ dài cạnh \(GH\) của tam giác đó.
Hướng dẫn giải
▪ Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(GHK\) có:
\(GH^2=HK^2+GK^2-2HK.GK\cos K=15^2+20^2-2.15.20.\cos 120^\circ=925\)▪ Vậy \(GH=\sqrt{925}=5\sqrt{37}\)
b. Hệ quả của định lí côsin
▪ \(\cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}\)
▪ \(\cos B=\frac{BA^2+BC^2-AC^2}{2BA.BC}\)
▪ \(\cos C=\frac{CA^2+CB^2-AB^2}{2CA.CB}\)
Ví dụ 2: Cho tam giác \(ABC\) có \(AB=200\), \(AC=300\) và \(BC=350\). Tìm số đo góc \(A\) của tam giác đó.
Hướng dẫn giải
▪ Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác \(ABC\) ta có
\(\cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB.AC}=\frac{200^2+300^2-350^2}{2.200.300}=\frac{1}{16}\)\(\Rightarrow\widehat{A}\approx 86,4^\circ\)2. Định lí sin trong tam giác
\(\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R\) trong đó \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
❑ Nhận xét
Trong một tam giác bất kì ta luôn có cạnh đối trên sin gốc đối bằng 2R.
Ví dụ 3: Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat{A}=60^\circ, \widehat{B}=40^\circ, AB = 14\). Tính độ dài cạnh \(AC\) và bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Hướng dẫn giải
▪ Ta có \(\widehat{C}=180^\circ-(\widehat{A}+\widehat{B})=180^\circ-(60^\circ+40^\circ)=80^\circ\)
▪ Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC có
+ \(\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}\Leftrightarrow \frac{AC}{\sin 40^\circ}=\frac{14}{\sin 80^\circ}\Leftrightarrow AC=\frac{14.\sin 40^\circ}{\sin 80^\circ}\approx 9,1\)
+ \(\frac{AB}{\sin C}=2R\Leftrightarrow \frac{14}{\sin 80^\circ}=2R\Leftrightarrow R=\frac{14}{2\sin 80^\circ}\approx 7,1\)
