Trắc nghiệm Toán 10: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ

Bài 11: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ

Toán 10 • Kết Nối Tri Thức • 10 câu trắc nghiệm

Câu 1. Cho hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) đều khác \(\vec{0}\). Công thức nào sau đây định nghĩa **đúng** tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\)?
Giải thích: Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) là một số, được tính bằng tích độ dài của hai vectơ đó với cosin của góc giữa chúng: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vert{}\vec{a}\vert{} \cdot \vert{}\vec{b}\vert{} \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})\).
Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai vectơ \(\vec{u} = (x_1; y_1)\) và \(\vec{v} = (x_2; y_2)\). Tích vô hướng \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) được tính theo tọa độ là:
Giải thích: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: Tích vô hướng bằng hoành độ nhân hoành độ cộng tung độ nhân tung độ, tức là \(\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2\).
Câu 3. Hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) (khác \(\vec{0}\)) vuông góc với nhau khi và chỉ khi:
Giải thích: Vì \(\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 90^\circ \Rightarrow \cos(\vec{a}, \vec{b}) = 0\). Do đó tích vô hướng \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\).
Câu 4. Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\). Tích vô hướng \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\) bằng:
Giải thích: Do \(\Delta ABC\) đều nên \(AB = AC = a\) và góc giữa hai vectơ \((\vec{AB}, \vec{AC}) = \widehat{BAC} = 60^\circ\).
\(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos 60^\circ = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}\).
Câu 5. Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai vectơ \(\vec{a} = (3; 1)\) và \(\vec{b} = (2; -4)\). Tích vô hướng \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) bằng:
Giải thích: Áp dụng công thức tọa độ: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot (-4) = 6 - 4 = 2\).
Câu 6. Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai vectơ \(\vec{a} = (1; 0)\) và \(\vec{b} = (1; 1)\). Cosin của góc giữa hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) bằng:
Giải thích: Ta có \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1\).
\(\vert{}\vec{a}\vert{} = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1\); \(\vert{}\vec{b}\vert{} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).
\(\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vert{}\vec{a}\vert{} \cdot \vert{}\vec{b}\vert{}} = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Câu 7. Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Tính tích vô hướng \(\vec{AB} \cdot \vec{BC}\).
Giải thích: Vì \(ABCD\) là hình vuông nên các cạnh kề vuông góc với nhau, tức là \(AB \perp BC \Rightarrow \vec{AB} \perp \vec{BC}\).
Do đó \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0\).
Câu 8. Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai vectơ \(\vec{u} = (x; 2)\) và \(\vec{v} = (3; -6)\). Giá trị của \(x\) để \(\vec{u} \perp \vec{v}\) là:
Giải thích: Để \(\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\).
\(\Leftrightarrow x \cdot 3 + 2 \cdot (-6) = 0 \Leftrightarrow 3x - 12 = 0 \Leftrightarrow 3x = 12 \Leftrightarrow x = 4\).
Câu 9. Cho hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) thỏa mãn \(\vert{}\vec{a}\vert{} = 3\), \(\vert{}\vec{b}\vert{} = 4\) và tích vô hướng \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -6\). Số đo góc giữa hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) là:
Giải thích: Ta có \(\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vert{}\vec{a}\vert{} \cdot \vert{}\vec{b}\vert{}} = \frac{-6}{3 \cdot 4} = -\frac{1}{2}\).
Suy ra góc giữa hai vectơ là \((\vec{a}, \vec{b}) = 120^\circ\).
Câu 10 Thực tế. Một người công nhân dùng một lực \(\vec{F}\) có độ lớn \(100\text{ N}\) kéo một thùng hàng di chuyển một quãng đường \(d = 20\text{ m}\) theo phương ngang (vectơ độ dịch chuyển \(\vec{d}\)). Biết dây kéo hợp với phương ngang một góc \(60^\circ\). Công sinh bởi lực \(\vec{F}\) được tính bằng tích vô hướng \(A = \vec{F} \cdot \vec{d}\). Công người đó đã thực hiện bằng:
Giải thích:
Áp dụng công thức tính công bằng tích vô hướng của lực và vectơ độ dịch chuyển:
\(A = \vec{F} \cdot \vec{d} = \vert{}\vec{F}\vert{} \cdot \vert{}\vec{d}\vert{} \cdot \cos(\vec{F}, \vec{d})\)
\(A = 100 \cdot 20 \cdot \cos 60^\circ = 2000 \cdot \frac{1}{2} = 1000\text{ J}\).

Kết quả