📘 BÀI HỌC TOÁN 10: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Chương IV: Vectơ - Bài 11 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
1. Góc giữa hai vectơ
Cho hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) khác \(\vec{0}\). Từ một điểm \(O\) bất kỳ, ta vẽ các vectơ \(\overrightarrow{OA} = \vec{u}\) và \(\overrightarrow{OB} = \vec{v}\).
Khi đó, số đo của góc \(\widehat{AOB}\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\), ký hiệu là \((\vec{u}, \vec{v})\).
\[ 0^\circ \le (\vec{u}, \vec{v}) \le 180^\circ \]- Nếu \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) cùng hướng thì \((\vec{u}, \vec{v}) = 0^\circ\).
- Nếu \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) ngược hướng thì \((\vec{u}, \vec{v}) = 180^\circ\).
- Nếu \((\vec{u}, \vec{v}) = 90^\circ\), ta nói \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) vuông góc với nhau, ký hiệu là \(\vec{u} \perp \vec{v}\).
2. Tích vô hướng của hai vectơ
Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) là một số thực (ký hiệu là \(\vec{u} \cdot \vec{v}\)), được xác định bởi công thức:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\vec{u}, \vec{v}) \]• Nếu \(\vec{u} = \vec{0}\) hoặc \(\vec{v} = \vec{0}\) thì \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\).
• Bình phương vô hướng: Tích vô hướng của một vectơ với chính nó được gọi là bình phương vô hướng của vectơ đó: \(\vec{u}^2 = \vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2\).
• Điều kiện vuông góc: Với \(\vec{u}, \vec{v} \ne \vec{0}\), ta có: \(\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\).
3. Tính chất của tích vô hướng
- Giao hoán: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\)
- Phân phối: \(\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}\)
- Kết hợp với một số: \((k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v}) = \vec{u} \cdot (k\vec{v})\)
• \((\vec{u} + \vec{v})^2 = \vec{u}^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{v}^2\)
• \((\vec{u} - \vec{v})^2 = \vec{u}^2 - 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{v}^2\)
• \((\vec{u} + \vec{v})(\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u}^2 - \vec{v}^2\)
4. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
1. Tích vô hướng:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 \]2. Độ dài của vectơ:
\[ |\vec{u}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} \]3. Khoảng cách giữa hai điểm \(A(x_A; y_A)\) và \(B(x_B; y_B)\):
\[ AB = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \]4. Góc giữa hai vectơ (\(\vec{u}, \vec{v} \ne \vec{0}\)):
\[ \cos(\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}} \]5. Điều kiện vuông góc:
\[ \vec{u} \perp \vec{v} \iff x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0 \]5. Ví dụ minh họa & Bài tập tự luyện
Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\).
Vì tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(|\overrightarrow{AB}| = a\), \(|\overrightarrow{AC}| = a\) và góc \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \widehat{BAC} = 60^\circ\).
Áp dụng công thức tích vô hướng:
\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos 60^\circ = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2} \]Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(\vec{u} = (1; 2)\) và \(\vec{v} = (-2; 1)\). Tính tích vô hướng \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) và cho biết góc giữa hai vectơ này.
1. Áp dụng công thức biểu thức tọa độ của tích vô hướng:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = -2 + 2 = 0 \]2. Vì \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) và hai vectơ đều khác \(\vec{0}\) nên \(\vec{u} \perp \vec{v}\).
Vậy góc giữa hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) là \(90^\circ\).
Bài 1: Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 3\), \(AC = 4\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}\).
Bài 2: Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho ba điểm \(A(1; 1)\), \(B(2; 4)\), \(C(5; 3)\). Tính độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\) và chứng minh tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\).