BÀI 11: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ SGK Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Trang 70)

• a) Với \(\vec{a} = (-3; 1)\) và \(\vec{b} = (2; 6)\):
  \[ \cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{(-3) \cdot 2 + 1 \cdot 6}{\sqrt{(-3)^2 + 1^2} \cdot \sqrt{2^2 + 6^2}} = \frac{-6 + 6}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{40}} = \frac{0}{20} = 0 \]
  Suy ra góc giữa hai vectơ là \((\vec{a}, \vec{b}) = 90^\circ\).
• b) Với \(\vec{a} = (3; 1)\) và \(\vec{b} = (2; 4)\):
  \[ \cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{3 \cdot 2 + 1 \cdot 4}{\sqrt{3^2 + 1^2} \cdot \sqrt{2^2 + 4^2}} = \frac{6 + 4}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{20}} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
  Suy ra góc giữa hai vectơ là \((\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ\).
• c) Với \(\vec{a} = (-\sqrt{2}; 1)\) và \(\vec{b} = (2; -\sqrt{2})\):
  \[ \cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{(-\sqrt{2}) \cdot 2 + 1 \cdot (-\sqrt{2})}{\sqrt{(-\sqrt{2})^2 + 1^2} \cdot \sqrt{2^2 + (-\sqrt{2})^2}} = \frac{-2\sqrt{2} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-3\sqrt{2}}{\sqrt{18}} = \frac{-3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = -1 \]
  Suy ra góc giữa hai vectơ là \((\vec{a}, \vec{b}) = 180^\circ\).

Theo định nghĩa tích vô hướng, với hai vectơ \(\vec{u}, \vec{v}\) khác \(\vec{0}\), ta có: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\vec{u}, \vec{v}) \]

• a) Để \(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}|\):
  Điều này xảy ra khi \(\cos(\vec{u}, \vec{v}) = 1 \Leftrightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 0^\circ\).
  Vậy điều kiện là hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) cùng hướng (và khác \(\vec{0}\)), hoặc ít nhất một trong hai vectơ bằng \(\vec{0}\).
• b) Để \(\vec{u} \cdot \vec{v} = -|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|\):
  Điều này xảy ra khi \(\cos(\vec{u}, \vec{v}) = -1 \Leftrightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 180^\circ\).
  Vậy điều kiện là hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) ngược hướng (và khác \(\vec{0}\)), hoặc ít nhất một trong hai vectơ bằng \(\vec{0}\).

• a) Tính \(\vec{AM} \cdot \vec{BM}\) theo \(t\):
  Tọa độ các vectơ là:
  \(\vec{AM} = (t - 1; 0 - 2) = (t - 1; -2)\)
  \(\vec{BM} = (t - (-4); 0 - 3) = (t + 4; -3)\)
  Tích vô hướng: \[ \vec{AM} \cdot \vec{BM} = (t - 1)(t + 4) + (-2)(-3) \] \[ = t^2 + 3t - 4 + 6 = t^2 + 3t + 2 \]
• b) Tìm \(t\) để \(\widehat{AMB} = 90^\circ\):
  Để \(\widehat{AMB} = 90^\circ\) thì \(\vec{AM} \perp \vec{BM} \Leftrightarrow \vec{AM} \cdot \vec{BM} = 0\).
  Từ câu a, ta có phương trình: \[ t^2 + 3t + 2 = 0 \] \[ \Leftrightarrow (t + 1)(t + 2) = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} t = -1 \\ t = -2 \end{bmatrix} \]
  Vậy \(t = -1\) hoặc \(t = -2\).

• a) Giải tam giác \(ABC\):
  - Tính độ dài các cạnh:
  \(AB = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\)
  \(AC = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\)
  \(BC = \sqrt{(2 - 2)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = \sqrt{36} = 6\)
  Do \(AB = AC = 3\sqrt{5}\) nên tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).
  
  - Tính các góc của tam giác:
  Áp dụng định lí cosin: \[ \cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{45 + 45 - 36}{2 \cdot 45} = \frac{54}{90} = \frac{3}{5} \Rightarrow \widehat{A} \approx 53^\circ 8' \]
  Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\): \[ \widehat{B} = \widehat{C} = \frac{180^\circ - \widehat{A}}{2} \approx \frac{180^\circ - 53^\circ 8'}{2} \approx 63^\circ 26' \]
• b) Tìm tọa độ trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC\):
  Gọi trực tâm \(H\) có tọa độ \(H(x; y)\).
  Ta có các vectơ:
  \(\vec{AH} = (x + 4; y - 1)\); \(\vec{BC} = (0; -6)\)
  \(\vec{BH} = (x - 2; y - 4)\); \(\vec{AC} = (6; -3)\)
  Vì \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) nên \(\begin{cases} AH \perp BC \\ BH \perp AC \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \vec{AH} \cdot \vec{BC} = 0 \\ \vec{BH} \cdot \vec{AC} = 0 \end{cases}\) \[ \Leftrightarrow \begin{cases} (x + 4) \cdot 0 + (y - 1) \cdot (-6) = 0 \\ (x - 2) \cdot 6 + (y - 4) \cdot (-3) = 0 \end{cases} \] \[ \Leftrightarrow \begin{cases} -6(y - 1) = 0 \\ 6x - 12 - 3y + 12 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y = 1 \\ 6x - 3y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y = 1 \\ 6x - 3(1) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ y = 1 \end{cases} \]
  Vậy trực tâm \(H\) có tọa độ là \(H\left(\frac{1}{2}; 1\right)\).

Ta có diện tích tam giác \(ABC\) tính theo công thức: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A \]

Bình phương hai vế diện tích: \[ S_{ABC}^2 = \frac{1}{4} AB^2 \cdot AC^2 \cdot \sin^2 A \] \[ = \frac{1}{4} AB^2 \cdot AC^2 \cdot (1 - \cos^2 A) \] \[ = \frac{1}{4} \left[ AB^2 \cdot AC^2 - (AB \cdot AC \cdot \cos A)^2 \right] \]

Theo định nghĩa tích vô hướng: \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos A\).
Đồng thời \(\vec{AB}^2 = AB^2\) và \(\vec{AC}^2 = AC^2\).

Thay vào biểu thức trên ta được: \[ S_{ABC}^2 = \frac{1}{4} \left[ \vec{AB}^2 \cdot \vec{AC}^2 - (\vec{AB} \cdot \vec{AC})^2 \right] \]

Lấy căn bậc hai hai vế (vì \(S_{ABC} > 0\)): \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \sqrt{\vec{AB}^2 \cdot \vec{AC}^2 - (\vec{AB} \cdot \vec{AC})^2} \quad (\text{đpcm}) \]

Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên \(\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}\).

Với điểm \(M\) bất kỳ, chèn điểm \(G\) vào các vectơ:
\(\vec{MA} = \vec{MG} + \vec{GA}\)
\(\vec{MB} = \vec{MG} + \vec{GB}\)
\(\vec{MC} = \vec{MG} + \vec{GC}\)

Ta có: \[ MA^2 = \vec{MA}^2 = (\vec{MG} + \vec{GA})^2 = MG^2 + 2\vec{MG}\cdot\vec{GA} + GA^2 \] \[ MB^2 = \vec{MB}^2 = (\vec{MG} + \vec{GB})^2 = MG^2 + 2\vec{MG}\cdot\vec{GB} + GB^2 \] \[ MC^2 = \vec{MC}^2 = (\vec{MG} + \vec{GC})^2 = MG^2 + 2\vec{MG}\cdot\vec{GC} + GC^2 \]

Cộng vế với vế của ba đẳng thức trên: \[ MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MG^2 + (GA^2 + GB^2 + GC^2) + 2\vec{MG} \cdot (\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}) \]

Vì \(\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}\) nên \(2\vec{MG} \cdot (\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}) = 0\).

Do đó: \[ MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2 \quad (\text{đpcm}) \]