Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho vectơ \(\vec{u} = 3\vec{i} - 4\vec{j}\) (với \(\vec{i}, \vec{j}\) là các vectơ đơn vị). Tọa độ của vectơ \(\vec{u}\) là:
Giải thích: Mọi vectơ \(\vec{u}\) đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng \(\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}\). Cặp số \((x; y)\) chính là tọa độ của vectơ \(\vec{u}\). Ở đây \(x = 3, y = -4\) nên \(\vec{u} = (3; -4)\).
Câu 2. Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai điểm \(A(1; 3)\) và \(B(4; -1)\). Tọa độ của vectơ \(\vec{AB}\) là:
Giải thích: Tọa độ vectơ \(\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (4 - 1; -1 - 3) = (3; -4)\).
Câu 3. Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai vectơ \(\vec{a} = (2; 1)\) và \(\vec{b} = (-3; 4)\). Tọa độ của vectơ \(\vec{u} = \vec{a} + \vec{b}\) là:
Giải thích: Tổng hai vectơ có tọa độ là tổng các tọa độ tương ứng: \(\vec{u} = (x_a + x_b; y_a + y_b) = (2 + (-3); 1 + 4) = (-1; 5)\).
Câu 4. Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai điểm \(A(2; -3)\) và \(B(4; 1)\). Tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\) là:
Giải thích: Tọa độ trung điểm \(I\) là trung bình cộng tọa độ hai điểm \(A, B\):
\(x_I = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3\); \(y_I = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = -1\). Do đó \(I(3; -1)\).
Câu 5. Cho tam giác \(ABC\) có các đỉnh \(A(1; 2)\), \(B(3; 0)\) và \(C(-1; 4)\). Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) là:
Giải thích: Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\):
\(x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{1 + 3 + (-1)}{3} = 1\); \(y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{2 + 0 + 4}{3} = 2\). Vây \(G(1; 2)\).
Câu 6. Cho vectơ \(\vec{a} = (-3; 4)\). Độ dài của vectơ \(\vec{a}\) bằng:
Giải thích: Độ dài của vectơ \(\vec{a} = (x; y)\) được tính bằng công thức \(\vert{}\vec{a}\vert{} = \sqrt{x^2 + y^2}\).
Suy ra \(\vert{}\vec{a}\vert{} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).
Câu 7. Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai vectơ \(\vec{u} = (2; m)\) và \(\vec{v} = (-4; 6)\). Hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) cùng phương khi và chỉ khi:
Giải thích: Hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) cùng phương khi và chỉ khi các tọa độ tương ứng tỉ lệ: \(\frac{2}{-4} = \frac{m}{6} \Rightarrow m = \frac{2 \cdot 6}{-4} = -3\).
Câu 8. Cho hai điểm \(A(-1; 2)\) và \(B(3; 5)\). Khoảng cách giữa hai điểm \(A\) và \(B\) là:
Giải thích: Khoảng cách \(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\).
Câu 9. Cho ba điểm \(A(1; 1)\), \(B(3; 2)\) và \(C(6; 5)\). Để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành thì tọa độ đỉnh \(D\) là:
Giải thích: Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\vec{AB} = \vec{DC}\).
Ta có \(\vec{AB} = (2; 1)\). Giả sử \(D(x_D; y_D)\) thì \(\vec{DC} = (6 - x_D; 5 - y_D)\).
\(\begin{cases} 6 - x_D = 2 \\ 5 - y_D = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_D = 4 \\ y_D = 4 \end{cases}\). Vậy \(D(4; 4)\).
Câu 10 Thực tế. Một màn hình ra-đa phát hiện một chiếc tàu thủy đang di chuyển tại vị trí \(A(2; 3)\) (đơn vị tọa độ tính theo km). Sau một giờ, ra-đa xác định chiếc tàu đã dịch chuyển đến vị trí \(B(8; 11)\). Giả sử chiếc tàu di chuyển thẳng đều, vectơ dịch chuyển của tàu thủy có độ lớn (quãng đường di chuyển) bằng:
Giải thích:
Vectơ dịch chuyển của tàu là \(\vec{AB} = (8 - 2; 11 - 3) = (6; 8)\).
Quãng đường tàu di chuyển chính là độ lớn của vectơ dịch chuyển \(\vec{AB}\):
\(\vert{}\vec{AB}\vert{} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\text{ km}\).