📘 BÀI HỌC TOÁN 10: VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
Chương IV: Vectơ - Bài 10 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
1. Tọa độ của một vectơ
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), gọi \(\vec{i}\) là vectơ đơn vị trên trục \(Ox\) và \(\vec{j}\) là vectơ đơn vị trên trục \(Oy\).
Với mỗi vectơ \(\vec{u}\), có duy nhất cặp số \((x; y)\) sao cho:
\[ \vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} \]Cặp số \((x; y)\) đó được gọi là tọa độ của vectơ \(\vec{u}\), ký hiệu là \(\vec{u} = (x; y)\) hoặc \(\vec{u}(x; y)\).
• \(x\): hoành độ của \(\vec{u}\)
• \(y\): tung độ của \(\vec{u}\)
Cho \(\vec{u} = (x_1; y_1)\) và \(\vec{v} = (x_2; y_2)\). Khi đó:
\[ \vec{u} = \vec{v} \iff \begin{cases} x_1 = x_2 \\ y_1 = y_2 \end{cases} \]2. Tọa độ của một điểm
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tọa độ của điểm \(M\) chính là tọa độ của vectơ vị trí \(\overrightarrow{OM}\):
\[ M(x; y) \iff \overrightarrow{OM} = (x; y) \iff \overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} \]Cho hai điểm \(A(x_A; y_A)\) và \(B(x_B; y_B)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) được tính theo công thức:
\[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) \]Mẹo nhớ: Lấy tọa độ điểm SAU trừ tọa độ điểm TRƯỚC.
3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
- Tổng hai vectơ: \(\vec{u} + \vec{v} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2)\)
- Hiệu hai vectơ: \(\vec{u} - \vec{v} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2)\)
- Tích vectơ với một số: \(k\vec{u} = (k x_1; k y_1)\)
Vectơ \(\vec{v} = (x_2; y_2) \ne \vec{0}\) cùng phương với \(\vec{u} = (x_1; y_1)\) khi và chỉ khi có số thực \(k\) sao cho:
\[ \begin{cases} x_1 = k x_2 \\ y_1 = k y_2 \end{cases} \]Nếu \(x_2 \ne 0\) và \(y_2 \ne 0\), ta có tỉ lệ: \(\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}\).
4. Tọa độ trung điểm và trọng tâm tam giác
Cho đoạn thẳng \(AB\) có \(A(x_A; y_A)\) và \(B(x_B; y_B)\). Tọa độ trung điểm \(I(x_I; y_I)\) của \(AB\) là:
\[ x_I = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad y_I = \frac{y_A + y_B}{2} \]Cho tam giác \(ABC\) có \(A(x_A; y_A)\), \(B(x_B; y_B)\), \(C(x_C; y_C)\). Tọa độ trọng tâm \(G(x_G; y_G)\) của tam giác \(ABC\) là:
\[ x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \quad y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \]5. Ví dụ minh họa & Bài tập tự luyện
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(A(1; 3)\) và \(B(-2; 5)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\).
1. Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\):
\[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (-2 - 1; 5 - 3) = (-3; 2) \]2. Tọa độ trung điểm \(I\) của \(AB\):
\[ x_I = \frac{1 + (-2)}{2} = -\frac{1}{2}, \quad y_I = \frac{3 + 5}{2} = 4 \Rightarrow I\left(-\frac{1}{2}; 4\right) \]Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho ba điểm \(A(1; 2)\), \(B(3; 5)\), \(C(-1; 4)\). Tìm tọa độ điểm \(D(x_D; y_D)\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.
Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành \(\iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).
Ta có:
\[ \overrightarrow{AB} = (3 - 1; 5 - 2) = (2; 3) \] \[ \overrightarrow{DC} = (-1 - x_D; 4 - y_D) \]Do đó:
\[ \begin{cases} -1 - x_D = 2 \\ 4 - y_D = 3 \end{cases} \iff \begin{cases} x_D = -3 \\ y_D = 1 \end{cases} \]Vậy tọa độ điểm \(D\) cần tìm là \(D(-3; 1)\).
Bài 1: Cho \(\vec{u} = (2; -4)\) và \(\vec{v} = (-1; 3)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\vec{w} = 2\vec{u} - 3\vec{v}\).
Bài 2: Cho ba điểm \(A(1; 1)\), \(B(2; 4)\), \(C(10; -2)\). Tìm tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) và chứng minh ba điểm \(A, B, C\) không thẳng hàng.