BÀI 10: VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ SGK Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Trang 65)

• a) Tính độ dài các đoạn thẳng \(OM, ON, MN\):
  Tọa độ gốc tọa độ là \(O(0; 0)\).
  - \(OM = \sqrt{(1 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}\).
  - \(ON = \sqrt{(4 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\).
  - \(MN = \sqrt{(4 - 1)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\).
• b) Chứng minh tam giác \(OMN\) vuông cân:
  - Ta có \(OM = MN = \sqrt{10}\) nên tam giác \(OMN\) cân tại \(M\).
  - Xét tổng bình phương hai cạnh: \[ OM^2 + MN^2 = (\sqrt{10})^2 + (\sqrt{10})^2 = 10 + 10 = 20 \] \[ ON^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20 \]
  Nhận thấy \(OM^2 + MN^2 = ON^2\), theo định lí Pitago đảo thì tam giác \(OMN\) vuông tại \(M\).
  Vậy tam giác \(OMN\) vừa vuông vừa cân tại \(M\) (hay tam giác \(OMN\) vuông cân tại \(M\)).

• a) Tìm mối liên hệ giữa \(\vec{MN}\) và \(2\vec{a} - \vec{b}\):
  - Tọa độ của \(\vec{a}\) là \(\vec{a} = (3; -2)\).
  - Vectơ \(2\vec{a} - \vec{b} = 2(3; -2) - (4; -1) = (6 - 4; -4 - (-1)) = (2; -3)\).
  - Tọa độ vectơ \(\vec{MN} = (3 - (-3); -3 - 6) = (6; -9)\).
  Ta thấy: \(\vec{MN} = (6; -9) = 3(2; -3) = 3(2\vec{a} - \vec{b})\).
  Vậy \(\vec{MN} = 3(2\vec{a} - \vec{b})\) (hay \(\vec{MN}\) cùng hướng và gấp 3 lần vectơ \(2\vec{a} - \vec{b}\)).
• b) Tọa độ ba điểm \(O, M, N\) có thẳng hàng không?
  - Ta có \(\vec{OM} = (-3; 6)\) và \(\vec{ON} = (3; -3)\).
  - Tỉ số giữa các tọa độ: \(\frac{-3}{3} = -1 \neq \frac{6}{-3} = -2\).
  Do đó hai vectơ \(\vec{OM}\) và \(\vec{ON}\) không cùng phương.
  Vậy ba điểm \(O, M, N\) không thẳng hàng.
• c) Tìm điểm \(P(x; y)\) để \(OMNP\) là hình bình hành:
  Tứ giác \(OMNP\) là hình bình hành khi và chỉ khi \(\vec{OP} = \vec{MN}\).
  Mà \(\vec{OP} = (x - 0; y - 0) = (x; y)\) và \(\vec{MN} = (6; -9)\).
  Suy ra: \[ \begin{cases} x = 6 \\ y = -9 \end{cases} \]
  Vậy điểm \(P\) cần tìm là \(P(6; -9)\).

• a) Giải thích \(A, B, C\) không thẳng hàng:
  Ta có \(\vec{AB} = (2 - 1; 4 - 3) = (1; 1)\).
  \(\vec{AC} = (-3 - 1; 2 - 3) = (-4; -1)\).
  Vì \(\frac{1}{-4} \neq \frac{1}{-1}\) (tức \(-0,25 \neq -1\)) nên hai vectơ \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\) không cùng phương.
  Do đó ba điểm \(A, B, C\) không thẳng hàng.
• b) Tọa độ trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\):
  \[ x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2} \] \[ y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{3 + 4}{2} = \frac{7}{2} \]
  Vậy \(M\left(\frac{3}{2}; \frac{7}{2}\right)\).
• c) Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\):
  \[ x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{1 + 2 + (-3)}{3} = \frac{0}{3} = 0 \] \[ y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{3 + 4 + 2}{3} = \frac{9}{3} = 3 \]
  Vậy \(G(0; 3)\).
• d) Tìm điểm \(D(x; y)\) để \(O(0; 0)\) là trọng tâm tam giác \(ABD\):
  Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm cho tam giác \(ABD\): \[ \begin{cases} \frac{x_A + x_B + x_D}{3} = x_O \\ \frac{y_A + y_B + y_D}{3} = y_O \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \frac{1 + 2 + x}{3} = 0 \\ \frac{3 + 4 + y}{3} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3 + x = 0 \\ 7 + y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -3 \\ y = -7 \end{cases} \]
  Vậy điểm cần tìm là \(D(-3; -7)\).

Gọi vị trí của tàu sau 1,5 giờ là điểm \(B(x; y)\).
Vectơ dịch chuyển của tàu trong thời gian \(t = 1,5\) giờ là: \[ \vec{AB} = t \cdot \vec{v} = 1,5 \cdot (3; 4) = (1,5 \cdot 3; 1,5 \cdot 4) = (4,5; 6) \]

Mặt khác, \(\vec{AB} = (x - 1; y - 2)\).
Do đó: \[ \begin{cases} x - 1 = 4,5 \\ y - 2 = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 5,5 \\ y = 8 \end{cases} \]

Vậy sau khi khởi hành 1,5 giờ, tàu thủy ở vị trí có tọa độ là \(B(5,5; 8)\).

Quy tắc di chuyển của quân Mã trong cờ vua: Đi theo hình chữ "L", tức là đi 2 ô theo một chiều (ngang hoặc dọc) và 1 ô theo chiều còn lại (dọc hoặc ngang).

Nếu quân Mã đang ở vị trí \((x_0; y_0) = (1; 2)\), vectơ di chuyển \(\vec{u} = (a; b)\) của quân Mã phải có dạng:
- TH1: Di chuyển 1 ô ngang, 2 ô dọc \(\Rightarrow (a; b) \in \{(\pm 1; \pm 2)\}\).
- TH2: Di chuyển 2 ô ngang, 1 ô dọc \(\Rightarrow (a; b) \in \{(\pm 2; \pm 1)\}\).

Cộng tọa độ ban đầu \((1; 2)\) với từng vectơ di chuyển ta được các vị trí có thể đến:

• \((1 + 1; 2 + 2) = (2; 4)\)
• \((1 + 1; 2 - 2) = (2; 0)\)
• \((1 - 1; 2 + 2) = (0; 4)\)
• \((1 - 1; 2 - 2) = (0; 0)\)
• \((1 + 2; 2 + 1) = (3; 3)\)
• \((1 + 2; 2 - 1) = (3; 1)\)
• \((1 - 2; 2 + 1) = (-1; 3)\)
• \((1 - 2; 2 - 1) = (-1; 1)\)

Xét giới hạn của bàn cờ trong Hình 4.38 (các tọa độ thỏa mãn \(0 \le x \le 7\) và \(0 \le y \le 7\)):
Tất cả các vị trí trên đều hợp lệ vì có hoành độ và tung độ thuộc phạm vi bàn cờ.

Kết luận: Sau một nước đi, quân mã có thể đến các vị trí có tọa độ là:
\((0; 0), (0; 4), (2; 0), (2; 4), (3; 1), (3; 3), (-1; 1), (-1; 3)\).