10 BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC
Ký hiệu chung: Tam giác \(ABC\) có các cạnh \(a, b, c\); góc \(A, B, C\); bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R\); bán kính đường tròn nội tiếp \(r\); nửa chu vi \(p = \frac{a+b+c}{2}\); diện tích \(S\); đường trung tuyến \(m_a, m_b, m_c\).
Lời giải chi tiết:
Cách 1: Sử dụng Định lí Côsin
Theo định lí côsin, ta có:
$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$ $$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$Biến đổi vế phải (VP):
$$VP = b \cdot \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} + c \cdot \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$ $$VP = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2a} + \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a} = \frac{2a^2}{2a} = a = VT$$Cách 2: Sử dụng Định lí Sin
Theo định lí sin: \(a = 2R \sin A, b = 2R \sin B, c = 2R \sin C\).
$$VP = 2R \sin B \cos C + 2R \sin C \cos B = 2R (\sin B \cos C + \sin C \cos B)$$ $$VP = 2R \sin(B + C)$$Vì \(A + B + C = 180^\circ \Rightarrow \sin(B + C) = \sin(\pi - A) = \sin A\).
$$\Rightarrow VP = 2R \sin A = a = VT \text{ (đpcm)}.$$Lời giải chi tiết:
Trong mọi tam giác \(ABC\), ta luôn có tổng ba góc: \(A + B + C = 180^\circ\).
$$\Rightarrow A = 180^\circ - (B + C)$$Lấy sin hai vế:
$$\sin A = \sin[180^\circ - (B + C)] = \sin(B + C)$$Áp dụng công thức cộng cho \(\sin(B + C)\):
$$\sin(B + C) = \sin B \cdot \cos C + \sin C \cdot \cos B$$Do đó, \(\sin A = \sin B \cdot \cos C + \sin C \cdot \cos B\) (đpcm).
Lời giải chi tiết:
Áp dụng định lí côsin cho \(\cos C\) và \(\cos B\):
$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}, \quad \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$Thay vào vế phải (VP):
$$VP = a \left( b \cdot \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} - c \cdot \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \right)$$ $$VP = a \left( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2a} - \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a} \right)$$ $$VP = a \cdot \frac{(a^2 + b^2 - c^2) - (a^2 + c^2 - b^2)}{2a}$$ $$VP = \frac{2b^2 - 2c^2}{2} = b^2 - c^2 = VT$$Vậy đẳng thức được chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Ta có công thức tính diện tích tam giác liên hệ với bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R\):
$$S = \frac{abc}{4R}$$Theo định lí sin, ta có các biểu thức của cạnh theo góc và \(R\):
$$a = 2R \sin A, \quad b = 2R \sin B, \quad c = 2R \sin C$$Thay \(a, b, c\) vào công thức diện tích:
$$S = \frac{(2R \sin A) \cdot (2R \sin B) \cdot (2R \sin C)}{4R}$$ $$S = \frac{8R^3 \cdot \sin A \cdot \sin B \cdot \sin C}{4R} = 2R^2 \cdot \sin A \cdot \sin B \cdot \sin C$$Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Khi đó \(AM = m_a\) và \(BM = \frac{a}{2}\).
Xét tam giác \(ABM\), áp dụng định lí côsin đối với góc \(B\):
$$AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos B$$ $$m_a^2 = c^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 - 2 \cdot c \cdot \frac{a}{2} \cdot \cos B$$ $$m_a^2 = c^2 + \frac{a^2}{4} - ac \cos B$$Mặt khác, xét tam giác \(ABC\), ta có: \(\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\).
Thay \(\cos B\) vào biểu thức trên:
$$m_a^2 = c^2 + \frac{a^2}{4} - ac \cdot \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$ $$m_a^2 = c^2 + \frac{a^2}{4} - \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2}$$ $$m_a^2 = \frac{4c^2 + a^2 - 2(a^2 + c^2 - b^2)}{4} = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$$Ta có đpcm.
Lời giải chi tiết:
Ta đã biết hai công thức tính diện tích tam giác \(S\):
- Công thức Heron: \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)
- Công thức qua bán kính đường tròn nội tiếp: \(S = p \cdot r \Rightarrow r = \frac{S}{p}\)
Biến đổi vế trái (VT):
$$VT = (p - a) \cdot \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}} = \sqrt{\frac{(p-a)^2 (p-b)(p-c)}{p(p-a)}}$$ $$VT = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$$Nhân cả tử và mẫu trong căn với \(p\):
$$VT = \sqrt{\frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{p^2}} = \frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}$$ $$VT = \frac{S}{p} = r = VP \text{ (đpcm)}.$$Lời giải chi tiết:
Áp dụng công thức đường trung tuyến cho ba cạnh của tam giác:
$$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$$ $$m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}$$ $$m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$$Cộng vế theo vế ba đẳng thức trên:
$$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{(2b^2 + 2c^2 - a^2) + (2a^2 + 2c^2 - b^2) + (2a^2 + 2b^2 - c^2)}{4}$$ $$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3a^2 + 3b^2 + 3c^2}{4} = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2)$$Đẳng thức được chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}\).
Mặt khác, theo định lí côsin: \(\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\).
Và công thức diện tích: \(S = \frac{1}{2}bc \sin A \Rightarrow \sin A = \frac{2S}{bc}\).
Do đó:
$$\cot A = \frac{\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}}{\frac{2S}{bc}} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4S}$$Tương tự cho \(\cot B\) và \(\cot C\):
$$\cot B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{4S}$$ $$\cot C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{4S}$$Cộng ba vế lại ta được:
$$\cot A + \cot B + \cot C = \frac{(b^2 + c^2 - a^2) + (a^2 + c^2 - b^2) + (a^2 + b^2 - c^2)}{4S}$$ $$\cot A + \cot B + \cot C = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4S} \text{ (đpcm)}.$$Lời giải chi tiết:
Ta có hai công thức tính diện tích tam giác \(ABC\):
- \(S = \frac{1}{2} a \cdot h_a\)
- \(S = \frac{abc}{4R}\)
Đồng nhất hai công thức tính diện tích:
$$\frac{1}{2} a \cdot h_a = \frac{abc}{4R}$$Rút gọn \(a\) ở cả hai vế:
$$\frac{1}{2} h_a = \frac{bc}{4R} \Rightarrow h_a = \frac{2bc}{4R} = \frac{bc}{2R}$$Vậy \(h_a = \frac{bc}{2R}\) (đpcm).
Lời giải chi tiết:
Theo định lí sin, ta có: \(a = 2R \sin A, b = 2R \sin B, c = 2R \sin C\).
Thay vào vế trái (VT):
$$VT = 2R \sin A \cos A + 2R \sin B \cos B + 2R \sin C \cos C$$ $$VT = R (\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)$$Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích đối với \(\sin 2A + \sin 2B\):
$$\sin 2A + \sin 2B = 2 \sin(A+B) \cos(A-B) = 2 \sin(\pi - C) \cos(A-B) = 2 \sin C \cos(A-B)$$Và \(\sin 2C = 2 \sin C \cos C\). Do đó:
$$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 2 \sin C [\cos(A-B) + \cos C]$$Vì \(\cos C = -\cos(A+B)\), nên:
$$\cos(A-B) + \cos C = \cos(A-B) - \cos(A+B) = 2 \sin A \sin B$$ $$\Rightarrow \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C$$Thay lại vào vế trái:
$$VT = R \cdot (4 \sin A \sin B \sin C) = 4R \sin A \sin B \sin C$$Mặt khác, theo kết quả Bài 4: \(S = 2R^2 \sin A \sin B \sin C \Rightarrow \frac{2S}{R} = 4R \sin A \sin B \sin C\).
$$\Rightarrow VT = \frac{2S}{R} = VP \text{ (đpcm)}.$$