Câu 1. Cho tam giác \(ABC\) có các cạnh \(a, b, c\) tương ứng đối diện với các góc \(A, B, C\). Mệnh đề nào sau đây là **đúng** về định lí côsin?
Giải thích: Theo định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có: \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\).
Câu 2. Cho tam giác \(ABC\) có góc \(A = 60^\circ\), cạnh \(b = 5\) và \(c = 8\). Độ dài cạnh \(a\) bằng:
Giải thích: Áp dụng định lí côsin:
\(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = 5^2 + 8^2 - 2(5)(8)\cos 60^\circ = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49\).
\(\Rightarrow a = \sqrt{49} = 7\).
Câu 3. Cho tam giác \(ABC\) có các cạnh \(a = 7, b = 8, c = 9\). Giá trị của \(\cos A\) bằng:
Giải thích: Hệ quả của định lí côsin:
\(\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{8^2 + 9^2 - 7^2}{2(8)(9)} = \frac{64 + 81 - 49}{144} = \frac{96}{144} = \frac{2}{3}\).
Câu 4. Cho tam giác \(ABC\) có bán kính đường tròn ngoại tiếp là \(R\). Mệnh đề nào sau đây **đúng** về định lí sin?
Giải thích: Theo định lí sin, tỉ số giữa mỗi cạnh và sin của góc đối diện luôn bằng đường kính đường tròn ngoại tiếp \(2R\): \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\).
Câu 5. Cho tam giác \(ABC\) có góc \(B = 45^\circ\), góc \(C = 60^\circ\) và cạnh \(b = 4\). Độ dài cạnh \(c\) bằng:
Giải thích: Áp dụng định lí sin:
\(\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow c = \frac{b \cdot \sin C}{\sin B} = \frac{4 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{6}\).
Câu 6. Cho tam giác \(ABC\) có \(a = 6\) và góc \(A = 30^\circ\). Bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R\) của tam giác \(ABC\) bằng:
Giải thích: Theo định lí sin, ta có \(2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{6}{\sin 30^\circ} = \frac{6}{0,5} = 12 \Rightarrow R = 6\).
Câu 7. Công thức nào sau đây **không đúng** khi tính diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\)?
Giải thích: Công thức diện tích theo hai cạnh và góc kẹp giữa phải sử dụng **\(\sin\)** góc kẹp giữa, tức là \(S = \frac{1}{2}ab \sin C\). Việc dùng \(\cos C\) ở phương án C là sai.
Câu 8. Tam giác \(ABC\) có các cạnh \(a = 5, b = 6, c = 7\). Diện tích tam giác \(ABC\) bằng:
Giải thích: Sử dụng công thức Heron:
- Nửa chu vi \(p = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9\).
- Diện tích \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}\).
Câu 9. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 3\), \(AC = 4\). Bán kính đường tròn nội tiếp \(r\) của tam giác \(ABC\) bằng:
Giải thích:
- Cạnh huyền \(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\).
- Diện tích tam giác vuông \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\).
- Nửa chu vi \(p = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6\).
- Bán kính đường tròn nội tiếp \(r = \frac{S}{p} = \frac{6}{6} = 1\).
Câu 10 Thực tế. Để đo khoảng cách giữa hai vị trí \(A\) và \(B\) ở hai bên bờ hồ mà không thể đo trực tiếp, một người đứng tại vị trí \(C\) trên đất liền đo được \(CA = 80\text{ m}\), \(CB = 120\text{ m}\) và góc nhìn \(\widehat{ACB} = 60^\circ\). Khoảng cách giữa hai điểm \(A\) và \(B\) (làm tròn đến hàng phần mười) là:
Giải thích:
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\):
\(AB^2 = CA^2 + CB^2 - 2 \cdot CA \cdot CB \cdot \cos \widehat{ACB}\)
\(AB^2 = 80^2 + 120^2 - 2(80)(120)\cos 60^\circ = 6400 + 14400 - 19200 \cdot \frac{1}{2} = 20800 - 9600 = 11200\).
\(\Rightarrow AB = \sqrt{11200} \approx 103,923\text{ m} \approx 103,9\text{ m}\).
