10-c3-b6. Hệ thức lượng trong tam giác-LT

Bài học Toán THPT - Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác

1. Định lí Côsin (Cosine Law)

📌 Nội dung Định lí Côsin:

Trong tam giác \(ABC\) có \(BC = a\), \(CA = b\), \(AB = c\):

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \] \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \] \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \]

📌 Hệ quả (Tính góc khi biết 3 cạnh): \[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] \[ \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \] \[ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \]

💡 Công thức độ dài đường trung tuyến:

Gọi \(m_a, m_b, m_c\) lần lượt là độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh \(A, B, C\):

\[ m_a^2 = \frac{2(b^2 + c^2) - a^2}{4} \] \[ m_b^2 = \frac{2(a^2 + c^2) - b^2}{4} \] \[ m_c^2 = \frac{2(a^2 + b^2) - c^2}{4} \]

2. Định lí Sin (Sine Law)

📌 Nội dung Định lí Sin:

Trong tam giác \(ABC\) có \(BC = a\), \(CA = b\), \(AB = c\) và \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]

💡 Các công thức suy ra từ định lí Sin:

\(a = 2R \sin A\), \(b = 2R \sin B\), \(c = 2R \sin C\)
\(\sin A = \frac{a}{2R}\), \(\sin B = \frac{b}{2R}\), \(\sin C = \frac{c}{2R}\)
Tỉ lệ ba cạnh: \(a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C\)

3. Các công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác \(ABC\) có cạnh \(a, b, c\), nửa chu vi \(p = \frac{a+b+c}{2}\), \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp, \(r\) là bán kính đường tròn nội tiếp, và \(h_a, h_b, h_c\) là đường cao tương ứng.

📌 Tổng hợp 5 công thức tính diện tích \(S\):

Công thức cơ bản: \(S = \frac{1}{2}a h_a = \frac{1}{2}b h_b = \frac{1}{2}c h_c\)
Theo 2 cạnh và góc kẹp giữa: \(S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ac \sin B = \frac{1}{2}ab \sin C\)
Theo bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R\): \(S = \frac{abc}{4R}\)
Theo bán kính đường tròn nội tiếp \(r\): \(S = p \cdot r\)
Công thức Ê-rông (Heron): \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)

4. Giải tam giác và Ứng dụng thực tế

📌 Giải tam giác là gì?

Giải tam giác là tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác khi đã biết một số yếu tố của tam giác đó.

Các trường hợp giải tam giác thường gặp:

Biết 2 cạnh và góc kẹp giữa (c-g-c): Dùng định lí Côsin tính cạnh thứ 3, sau đó tính các góc còn lại.
Biết 3 cạnh (c-c-c): Dùng hệ quả định lí Côsin để tính các góc.
Biết 1 cạnh và 2 góc (g-c-g): Tính góc thứ 3 (\(180^\circ - \text{tổng 2 góc}\)), dùng định lí Sin tính 2 cạnh còn lại.

🌐 Ứng dụng thực tế:

• Đo khoảng cách giữa hai điểm không tới được (khoảng cách qua sông, đo từ bờ ra đảo).

• Đo chiều cao của tháp, núi, tòa nhà khi không thể tiếp cận chân công trình.

• Định vị và dẫn đường hàng hải, hàng không.

5. Ví dụ minh họa & Luyện tập

Ví dụ 1 Tính cạnh và góc bằng Định lí Côsin

Cho tam giác \(ABC\) có \(b = 8\text{ cm}\), \(c = 5\text{ cm}\) và góc \(A = 60^\circ\). Tính cạnh \(a\) và diện tích tam giác \(ABC\).

Lời giải:

1. Áp dụng định lí Côsin tính cạnh \(a\):

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = 8^2 + 5^2 - 2.8.5.\cos 60^\circ \] \[ a^2 = 64 + 25 - 80.\frac{1}{2} = 89 - 40 = 49 \Rightarrow a = 7\text{ cm} \]

2. Tính diện tích tam giác \(ABC\):

\[ S = \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 60^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\text{ (cm}^2\text{)} \]

Ví dụ 2 Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng Định lí Sin

Cho tam giác \(ABC\) có \(a = 10\text{ cm}\) và góc \(A = 150^\circ\). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R\).

Lời giải:

Áp dụng định lí Sin:

\[ \frac{a}{\sin A} = 2R \Rightarrow R = \frac{a}{2 \sin A} \]

Vì \(\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\):

\[ R = \frac{10}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 10\text{ cm} \]

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho tam giác \(ABC\) có 3 cạnh \(a = 13\), \(b = 14\), \(c = 15\). Tính diện tích tam giác \(ABC\) và bán kính đường tròn nội tiếp \(r\).

Bài 2: Muốn đo khoảng cách từ bờ sông đến một hòn đảo nhỏ, người ta chọn hai điểm \(A, B\) trên bờ cách nhau \(100\text{ m}\). Đo được \(\widehat{CAB} = 70^\circ\) và \(\widehat{CBA} = 50^\circ\) (\(C\) là vị trí trên đảo). Tính khoảng cách từ \(A\) đến \(C\).

6. Tổng kết & Mẹo ghi nhớ công thức

💡 Mẹo lựa chọn công thức phù hợp:

Có 2 cạnh + góc kẹp giữa: Ưu tiên dùng Định lí Côsin.
Có 1 cạnh + 2 góc HOẶC biết bán kính \(R\): Ưu tiên dùng Định lí Sin.
Biết cả 3 cạnh: Dùng Công thức Heron để tính diện tích nhanh nhất, hoặc dùng Hệ quả Côsin để tính góc.
Muốn tìm bán kính \(R, r\): Tính diện tích \(S\) trước, sau đó rút ra từ \(R = \frac{abc}{4S}\) và \(r = \frac{S}{p}\).