BÀI 6: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC SGK Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Trang 42 – 43)

• Tính \(\cos A\): Áp dụng định lí cosin: \[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{5^2 + 8^2 - 6^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{25 + 64 - 36}{80} = \frac{53}{80} \]
• Tính diện tích \(S\): Nửa chu vi tam giác \(p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{6 + 5 + 8}{2} = 9.5\).
  Áp dụng công thức Heron: \[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{9.5(9.5 - 6)(9.5 - 5)(9.5 - 8)} \] \[ S = \sqrt{9.5 \cdot 3.5 \cdot 4.5 \cdot 1.5} = \sqrt{224.4375} \approx 14.98 \]
• Tính bán kính đường tròn nội tiếp \(r\): \[ r = \frac{S}{p} = \frac{\sqrt{224.4375}}{9.5} \approx 1.58 \]

• Tính góc \(\widehat{C}\): \[ \widehat{C} = 180^\circ - (\widehat{A} + \widehat{B}) = 180^\circ - (45^\circ + 70^\circ) = 65^\circ \]
• Tính \(R\): Áp dụng định lí sin: \[ \frac{a}{\sin A} = 2R \Rightarrow R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{10}{2\sin 45^\circ} = \frac{10}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = 5\sqrt{2} \approx 7.07 \]
• Tính \(b\): \[ b = 2R \cdot \sin B = 2(5\sqrt{2}) \cdot \sin 70^\circ \approx 13.3 \]
• Tính \(c\): \[ c = 2R \cdot \sin C = 2(5\sqrt{2}) \cdot \sin 65^\circ \approx 12.82 \]

• Tính góc \(\widehat{C}\): \[ \widehat{C} = 180^\circ - (\widehat{A} + \widehat{B}) = 180^\circ - (15^\circ + 130^\circ) = 35^\circ \]
• Tính cạnh \(a\) và \(b\): Áp dụng định lí sin: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = \frac{6}{\sin 35^\circ} \] \[ \Rightarrow a = \frac{6 \cdot \sin 15^\circ}{\sin 35^\circ} \approx 2.71 \] \[ \Rightarrow b = \frac{6 \cdot \sin 130^\circ}{\sin 35^\circ} \approx 8.01 \]
• Tính diện tích \(S\): \[ S = \frac{1}{2} a b \sin C = \frac{1}{2} \cdot 2.71 \cdot 8.01 \cdot \sin 35^\circ \approx 6.23 \]

Gọi vị trí cảng là \(A\), vị trí tàu bị hỏng là \(B\), vị trí hòn đảo là \(C\).

• Đổi: \(90\text{ phút} = 1.5\text{ giờ}\).
• Quãng đường \(AB = 70 \cdot 1.5 = 105\text{ km}\).
• Quãng đường \(BC = 8 \cdot 2 = 16\text{ km}\).
• Góc hợp bởi hướng \(\text{S}70^\circ\text{E}\) và hướng Nam (đoạn \(BC\)) chính là góc \(\widehat{ABC}\). Ta có \(\widehat{ABC} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\).

a) Tính khoảng cách \(AC\): Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(ABC\):

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \widehat{ABC} \] \[ AC^2 = 105^2 + 16^2 - 2 \cdot 105 \cdot 16 \cdot \cos 110^\circ \approx 11025 + 256 - (-1149.17) = 12430.17 \] \[ \Rightarrow AC \approx \sqrt{12430.17} \approx 111.49\text{ km} \]

b) Xác định hướng từ cảng \(A\) tới đảo \(C\): Tính góc \(\widehat{BAC}\) bằng định lí sin:

\[ \frac{BC}{\sin \widehat{BAC}} = \frac{AC}{\sin \widehat{ABC}} \Rightarrow \sin \widehat{BAC} = \frac{BC \cdot \sin 110^\circ}{AC} \approx \frac{16 \cdot 0.9397}{111.49} \approx 0.1348 \] \[ \Rightarrow \widehat{BAC} \approx 7.75^\circ \]

Góc lệch từ hướng Nam sang hướng Đông từ cảng \(A\) là: \(70^\circ - 7.75^\circ = 62.25^\circ \approx 62^\circ 15'\).

Vậy hướng từ cảng \(A\) tới đảo là \(\text{S}62.25^\circ\text{E}\) (hoặc \(\text{S}62^\circ 15'\text{E}\)).

• a) Tính các góc của tam giác \(ABC\):
  - Góc giữa tia quan sát \(AB\) và phương nằm ngang là \(50^\circ\).
  - Góc giữa tia quan sát \(AC\) và phương nằm ngang là \(40^\circ\).
  \(\Rightarrow \widehat{BAC} = 50^\circ - 40^\circ = 10^\circ\).
  Do cột ăng-ten \(BC\) vuông góc với phương nằm ngang, trong tam giác vuông tạo bởi tia nằm ngang và điểm \(C\), ta có góc hợp bởi \(AC\) và cột thẳng đứng là \(90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\).
  \(\Rightarrow \widehat{ACB} = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\).
  \(\Rightarrow \widehat{ABC} = 180^\circ - (\widehat{BAC} + \widehat{ACB}) = 180^\circ - (10^\circ + 130^\circ) = 40^\circ\).
• b) Tính chiều cao của toà nhà:
  Áp dụng định lí sin trong tam giác \(ABC\) với \(BC = 5\text{ m}\): \[ \frac{AC}{\sin \widehat{ABC}} = \frac{BC}{\sin \widehat{BAC}} \Rightarrow AC = \frac{5 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 10^\circ} \approx 18.51\text{ m} \] Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên đường thẳng chứa cột ăng-ten (tường tòa nhà).
  Khoảng cách nằm ngang từ \(A\) đến tòa nhà là: \(AH = AC \cdot \cos 40^\circ \approx 18.51 \cdot 0.7660 \approx 14.18\text{ m}\).
  Độ cao chênh lệch giữa chân cột ăng-ten \(C\) và vị trí \(A\) là: \(CH = AC \cdot \sin 40^\circ \approx 18.51 \cdot 0.6428 \approx 11.90\text{ m}\).
  Chiều cao của tòa nhà (độ cao của điểm \(C\) so với mặt đất) bằng: \[ h = 7 + CH \approx 7 + 11.90 = 18.90\text{ m} \]

Phương pháp xác định:

• Gọi hai mép bờ của Đảo Yến quan sát được từ bờ biển lần lượt là hai điểm \(M\) và \(N\). Bề rộng hòn đảo chính là độ dài đoạn thẳng \(MN\).
• Chọn hai vị trí quan sát \(A\) và \(B\) cố định trên bãi biển sao cho có thể nhìn thấy cả \(M\) và \(N\). Đo chính xác khoảng cách \(d = AB\).
• Tại vị trí \(A\), dùng giác kế đo các góc \(\widehat{MAB}\) và \(\widehat{NAB}\).
• Tại vị trí \(B\), dùng giác kế đo các góc \(\widehat{MBA}\) và \(\widehat{NBA}\).
• Áp dụng định lí sin trong \(\triangle MAB\) để tính độ dài cạnh \(AM\).
• Áp dụng định lí sin trong \(\triangle NAB\) để tính độ dài cạnh \(AN\).
• Góc \(\widehat{MAN} = |\widehat{MAB} - \widehat{NAB}|\). Áp dụng định lí cosin trong \(\triangle AMN\) để tính bề rộng đảo: \[ MN = \sqrt{AM^2 + AN^2 - 2 \cdot AM \cdot AN \cdot \cos \widehat{MAN}} \]

• Tính độ dài đường cũ: \[ L_{\text{cũ}} = AB + BC + CD = 8 + 6 + 12 = 26\text{ km} \]
• Tính độ dài đoạn thẳng \(AD\) (đường mới):
  Xét tam giác \(ABC\) có \(AB = 8\text{ km}, BC = 6\text{ km}, \widehat{B} = 105^\circ\): \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos 105^\circ \] \[ AC^2 = 64 + 36 - 96 \cdot (-0.2588) \approx 100 + 24.84 = 124.84 \Rightarrow AC \approx 11.17\text{ km} \]
  Tính góc \(\widehat{BCA}\) bằng định lí sin trong \(\triangle ABC\): \[ \frac{AB}{\sin \widehat{BCA}} = \frac{AC}{\sin B} \Rightarrow \sin \widehat{BCA} = \frac{8 \cdot \sin 105^\circ}{11.17} \approx 0.6918 \Rightarrow \widehat{BCA} \approx 43.77^\circ \]
  Góc \(\widehat{ACD} = \widehat{C} - \widehat{BCA} = 135^\circ - 43.77^\circ = 91.23^\circ\).
  Xét tam giác \(ACD\) có \(AC \approx 11.17\text{ km}, CD = 12\text{ km}, \widehat{ACD} \approx 91.23^\circ\): \[ AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos \widehat{ACD} \] \[ AD^2 = 124.84 + 12^2 - 2 \cdot 11.17 \cdot 12 \cdot \cos 91.23^\circ \] \[ AD^2 \approx 124.84 + 144 - 268.08 \cdot (-0.0215) \approx 268.84 + 5.75 = 274.59 \] \[ \Rightarrow AD \approx \sqrt{274.59} \approx 16.57\text{ km} \]
• Số kilômét giảm được: \[ \Delta L = L_{\text{cũ}} - AD = 26 - 16.57 = 9.43\text{ km} \]

Vậy đường mới sẽ giảm khoảng \(9.43\text{ km}\) so với đường cũ.