Câu 1. Trong nửa đường tròn đơn vị, với mỗi góc \(\alpha\) (\(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ\)), điểm \(M(x_0; y_0)\) nằm trên nửa đường tròn sao cho \(\widehat{xOM} = \alpha\). Khẳng định nào sau đây là **đúng**?
Giải thích: Theo định nghĩa giá trị lượng giác của một góc \(\alpha\) từ \(0^\circ\) đến \(180^\circ\), tung độ \(y_0\) của điểm \(M\) là \(\sin\alpha\) và hoành độ \(x_0\) của điểm \(M\) là \(\cos\alpha\).
Câu 2. Với góc tù \(\alpha\) (\(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)), khẳng định nào sau đây là **đúng**?
Giải thích: Khi \(\alpha\) là góc tù, điểm \(M\) nằm ở phía bên trái trục tung (thuộc góc phần tư thứ II) nên hoành độ \(x_0 < 0 \Rightarrow \cos\alpha < 0\) và tung độ \(y_0 > 0 \Rightarrow \sin\alpha > 0\).
Câu 3. Đẳng thức nào sau đây là **đúng** với mọi góc \(\alpha\) (\(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ\))?
Giải thích: Hai góc bù nhau \(\alpha\) và \(180^\circ - \alpha\) có sin bằng nhau, còn côsin, tang, côtang đối nhau: \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha\).
Câu 4. Giá trị của biểu thức \(P = \cos 0^\circ + \cos 60^\circ + \cos 120^\circ + \cos 180^\circ\) bằng:
Giải thích: Ta có:
\(\cos 0^\circ = 1\), \(\cos 180^\circ = -1\)
\(\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ\)
\(\Rightarrow P = 1 + \cos 60^\circ - \cos 60^\circ - 1 = 0\).
Câu 5. Cho \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\) với \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\). Giá trị của \(\cos\alpha\) bằng:
Giải thích: Áp dụng công thức \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \Rightarrow \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}\).
Vì \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\) (góc tù) nên \(\cos\alpha < 0 \Rightarrow \cos\alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}\).
Câu 6. Cho \(\tan\alpha = -2\). Giá trị của biểu thức \(A = \frac{\sin\alpha + 3\cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha}\) bằng:
Giải thích: Chia cả tử và mẫu của \(A\) cho \(\cos\alpha \ne 0\):
\(A = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + 3}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - 1} = \frac{\tan\alpha + 3}{\tan\alpha - 1} = \frac{-2 + 3}{-2 - 1} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}\).
Câu 7. Giá trị của biểu thức \(S = \sin^2 15^\circ + \sin^2 35^\circ + \sin^2 55^\circ + \sin^2 75^\circ\) bằng:
Giải thích: Vì hai góc phụ nhau có \(\sin\) góc này bằng \(\cos\) góc kia:
\(\sin 75^\circ = \cos 15^\circ \Rightarrow \sin^2 75^\circ = \cos^2 15^\circ\)
\(\sin 55^\circ = \cos 35^\circ \Rightarrow \sin^2 55^\circ = \cos^2 35^\circ\)
\(\Rightarrow S = (\sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ) + (\sin^2 35^\circ + \cos^2 35^\circ) = 1 + 1 = 2\).
Câu 8. Khẳng định nào sau đây **sai**?
Giải thích: Vì \(150^\circ\) là góc thuộc nửa đường tròn đơn vị trên (tung độ dương) nên \(\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} > 0\). Mệnh đề D ghi \(-\frac{1}{2}\) là Sai.
Câu 9. Cho tam giác \(ABC\) tùy ý. Khẳng định nào sau đây là **đúng**?
Giải thích: Trong tam giác \(ABC\), ta có \(A + B + C = 180^\circ \Rightarrow A + B = 180^\circ - C\).
Do hai góc \((A + B)\) và \(C\) bù nhau nên \(\sin(A + B) = \sin(180^\circ - C) = \sin C\).
Câu 10 Thực tế. Một người quan sát đứng cách chân một tháp truyền hình \(50\text{ m}\) trên mặt đất bằng phẳng. Nhìn lên đỉnh tháp dưới một góc nâng \(\alpha = 60^\circ\) so với phương nằm ngang. Biết tầm mắt của người đó cao \(1,6\text{ m}\) so với mặt đất. Chiều cao của tháp truyền hình (làm tròn đến hàng phần mười) là:
Giải thích:
Gọi chiều cao từ tầm mắt đến đỉnh tháp là \(h_1\).
Xét tam giác vuông tạo bởi tầm mắt, đỉnh tháp và điểm trên tháp ngang tầm mắt:
\(h_1 = 50 \cdot \tan 60^\circ = 50 \cdot \sqrt{3} \approx 86,602\text{ m}\).
Chiều cao toàn bộ của tháp là \(h = h_1 + 1,6 = 86,602 + 1,6 = 88,202\text{ m} \approx 88,2\text{ m}\).