BÀI 5: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0° ĐẾN 180° SGK Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Trang 37)
Bài 3.1: Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \((2\sin 30^\circ + \cos 135^\circ - 3\tan 150^\circ) \cdot (\cos 180^\circ - \cot 60^\circ)\);
b) \(\sin^2 90^\circ + \cos^2 120^\circ + \cos^2 0^\circ - \tan^2 60^\circ + \cot^2 135^\circ\);
c) \(\cos 60^\circ \cdot \sin 30^\circ + \cos^2 30^\circ\).
a) \((2\sin 30^\circ + \cos 135^\circ - 3\tan 150^\circ) \cdot (\cos 180^\circ - \cot 60^\circ)\);
b) \(\sin^2 90^\circ + \cos^2 120^\circ + \cos^2 0^\circ - \tan^2 60^\circ + \cot^2 135^\circ\);
c) \(\cos 60^\circ \cdot \sin 30^\circ + \cos^2 30^\circ\).
Chú ý: \(\sin^2 \alpha = (\sin \alpha)^2\), \(\cos^2 \alpha = (\cos \alpha)^2\), \(\tan^2 \alpha = (\tan \alpha)^2\), \(\cot^2 \alpha = (\cot \alpha)^2\).
Lời giải:
-
a) Ta có các giá trị lượng giác:
\(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\); \(\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\); \(\tan 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}\); \(\cos 180^\circ = -1\); \(\cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}\).
Thay vào biểu thức: \[ \left( 2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \right) \cdot \left( -1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \right) \] \[ = \left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} \right) \cdot \left( \frac{-3 - \sqrt{3}}{3} \right) \] \[ = \frac{(2 - \sqrt{2} + 2\sqrt{3})(-3 - \sqrt{3})}{6} = \frac{-6 - 2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} + \sqrt{6} - 6\sqrt{3} - 6}{6} \] \[ = \frac{-12 - 8\sqrt{3} + 3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{6} \] -
b) Ta có các giá trị lượng giác:
\(\sin 90^\circ = 1\); \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\); \(\cos 0^\circ = 1\); \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\); \(\cot 135^\circ = -1\).
Thay vào biểu thức: \[ 1^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2 - (\sqrt{3})^2 + (-1)^2 \] \[ = 1 + \frac{1}{4} + 1 - 3 + 1 = \frac{1}{4} \] -
c) Ta có các giá trị lượng giác:
\(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\); \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\); \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Thay vào biểu thức: \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1 \]
Bài 3.2: Đơn giản các biểu thức sau:
a) \(\sin 100^\circ + \sin 80^\circ + \cos 16^\circ + \cos 164^\circ\);
b) \(2\sin(180^\circ - \alpha) \cdot \cot \alpha - \cos(180^\circ - \alpha) \cdot \tan \alpha \cdot \cot(180^\circ - \alpha)\), với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\).
a) \(\sin 100^\circ + \sin 80^\circ + \cos 16^\circ + \cos 164^\circ\);
b) \(2\sin(180^\circ - \alpha) \cdot \cot \alpha - \cos(180^\circ - \alpha) \cdot \tan \alpha \cdot \cot(180^\circ - \alpha)\), với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\).
Lời giải:
-
a) Áp dụng công thức quan hệ lượng giác của hai góc bù nhau:
\(\sin 100^\circ = \sin(180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ\)
\(\cos 164^\circ = \cos(180^\circ - 16^\circ) = -\cos 16^\circ\)
Thay vào biểu thức: \[ \sin 80^\circ + \sin 80^\circ + \cos 16^\circ - \cos 164^\circ = 2\sin 80^\circ \] -
b) Áp dụng công thức quan hệ lượng giác của hai góc bù nhau:
\(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha\)
\(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha\)
\(\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot \alpha\)
Thay vào biểu thức: \[ 2\sin \alpha \cdot \cot \alpha - (-\cos \alpha) \cdot \tan \alpha \cdot (-\cot \alpha) \] \[ = 2\sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \cos \alpha \cdot \tan \alpha \cdot \cot \alpha \]
Vì \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1\) nên: \[ = 2\cos \alpha - \cos \alpha = \cos \alpha \]
Bài 3.3: Chứng minh các hệ thức sau:
a) \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\);
b) \(1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\) \((\alpha \neq 90^\circ)\);
c) \(1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}\) \((0^\circ < \alpha < 180^\circ)\).
a) \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\);
b) \(1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\) \((\alpha \neq 90^\circ)\);
c) \(1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}\) \((0^\circ < \alpha < 180^\circ)\).
Lời giải:
-
a) Gọi \(M(x_0; y_0)\) là điểm trên đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat{xOM} = \alpha\).
Theo định nghĩa giá trị lượng giác, ta có: \(\sin \alpha = y_0\) và \(\cos \alpha = x_0\).
Do \(M\) thuộc đường tròn đơn vị \(x^2 + y^2 = 1\) nên: \[ x_0^2 + y_0^2 = 1 \Rightarrow \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \text{ (đpcm)} \] -
b) Với \(\alpha \neq 90^\circ\), ta có \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\).
Biến đổi vế trái: \[ 1 + \tan^2 \alpha = 1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \] Áp dụng kết quả câu a) \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\): \[ = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \text{ (đpcm)} \] -
c) Với \(0^\circ < \alpha < 180^\circ\), ta có \(\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\).
Biến đổi vế trái: \[ 1 + \cot^2 \alpha = 1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \] Áp dụng kết quả câu a) \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\): \[ = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \text{ (đpcm)} \]
Bài 3.4: Cho góc \(\alpha\) \((0^\circ < \alpha < 180^\circ)\) thỏa mãn \(\tan \alpha = 3\).
Tính giá trị của biểu thức: \(P = \frac{2\sin \alpha - 3\cos \alpha}{3\sin \alpha + 2\cos \alpha}\).
Tính giá trị của biểu thức: \(P = \frac{2\sin \alpha - 3\cos \alpha}{3\sin \alpha + 2\cos \alpha}\).
Lời giải:
Vì \(\tan \alpha = 3\) xác định nên \(\cos \alpha \neq 0\).
Chia cả tử và mẫu của biểu thức \(P\) cho \(\cos \alpha\), ta được:
\[ P = \frac{\frac{2\sin \alpha - 3\cos \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{3\sin \alpha + 2\cos \alpha}{\cos \alpha}} \] \[ P = \frac{2 \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - 3}{3 \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + 2} = \frac{2\tan \alpha - 3}{3\tan \alpha + 2} \]Thay \(\tan \alpha = 3\) vào biểu thức:
\[ P = \frac{2(3) - 3}{3(3) + 2} = \frac{6 - 3}{9 + 2} = \frac{3}{11} \]Vậy \(P = \frac{3}{11}\).