10-c3-b5. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180-LT

Bài học Toán THPT - Giá Trị Lượng Giác Của Một Góc Từ 0° Đến 180°

1. Nửa đường tròn đơn vị lượng giác

📌 Định nghĩa:

Nửa đường tròn đơn vị là nửa đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R = 1\) nằm phía trên trục hoành \(Ox\), đi qua các điểm \(A(1; 0)\), \(N(0; 1)\), và \(A'(-1; 0)\).

Với mỗi góc \(\alpha\) (\(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ\)), ta xác định duy nhất một điểm \(M(x_0; y_0)\) trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat{xOM} = \alpha\).

💡 Ý nghĩa của tọa độ điểm \(M\):

Tung độ \(y_0\) của điểm \(M\) gọi là sin của góc \(\alpha\).
Hoành độ \(x_0\) của điểm \(M\) gọi là côsin của góc \(\alpha\).

2. Định nghĩa Giá trị lượng giác

📌 Cho góc \(\alpha\) (\(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ\)) tương ứng với điểm \(M(x_0; y_0)\):

\(\sin \alpha = y_0\)
\(\cos \alpha = x_0\)
\(\tan \alpha = \frac{y_0}{x_0} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \quad (\alpha \ne 90^\circ)\)
\(\cot \alpha = \frac{x_0}{y_0} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \quad (\alpha \ne 0^\circ, \alpha \ne 180^\circ)\)

Dấu của các giá trị lượng giác:

Khi \(\alpha\) là góc nhọn (\(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)): \(\sin \alpha > 0, \cos \alpha > 0, \tan \alpha > 0, \cot \alpha > 0\).
Khi \(\alpha\) là góc tù (\(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)): \(\sin \alpha > 0, \cos \alpha < 0, \tan \alpha < 0, \cot \alpha < 0\).

⚠️ Lưu ý quan trọng: Với mọi góc \(\alpha\) từ \(0^\circ\) đến \(180^\circ\), ta luôn có \(0 \le \sin \alpha \le 1\) và \(-1 \le \cos \alpha \le 1\).

3. Bảng Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Dưới đây là các giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt thường gặp từ \(0^\circ\) đến \(180^\circ\):

Góc \(\alpha\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)	\(120^\circ\)	\(135^\circ\)	\(150^\circ\)	\(180^\circ\)
\(\sin \alpha\)	\(0\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(0\)
\(\cos \alpha\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(0\)	\(-\frac{1}{2}\)	\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(-1\)
\(\tan \alpha\)	\(0\)	\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)	\(1\)	\(\sqrt{3}\)	\|\|	\(-\sqrt{3}\)	\(-1\)	\(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)	\(0\)
\(\cot \alpha\)	\|\|	\(\sqrt{3}\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)	\(0\)	\(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)	\(-1\)	\(-\sqrt{3}\)	\|\|

Ghi chú: Khí hiệu "||" chỉ giá trị không xác định.

4. Mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

📌 Công thức hai góc bù nhau (\(\alpha\) và \(180^\circ - \alpha\)):

\(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha\)
\(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha\)
\(\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan \alpha \quad (\alpha \ne 90^\circ)\)
\(\cot(180^\circ - \alpha) = -\cot \alpha \quad (\alpha \ne 0^\circ, \alpha \ne 180^\circ)\)

💡 Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:

\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)
\(\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1 \quad (0^\circ < \alpha < 180^\circ, \alpha \ne 90^\circ)\)
\(1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \quad (\alpha \ne 90^\circ)\)
\(1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \quad (\alpha \ne 0^\circ, \alpha \ne 180^\circ)\)

5. Ví dụ minh họa & Luyện tập

Ví dụ 1 Tính giá trị biểu thức lượng giác

Tính giá trị của biểu thức: \(A = \sin 135^\circ + \cos 120^\circ - \tan 135^\circ\).

Lời giải:

Áp dụng công thức góc bù nhau hoặc tra bảng giá trị lượng giác đặc biệt:

\(\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}\)
\(\tan 135^\circ = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan 45^\circ = -1\)

Thay vào biểu thức \(A\):

\[ A = \frac{\sqrt{2}}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) - (-1) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{\sqrt{2} + 1}{2} \]

Ví dụ 2 Tính GTLG còn lại khi biết một GTLG

Cho \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) với \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\). Tính \(\cos \alpha\) và \(\tan \alpha\).

Lời giải:

1. Áp dụng công thức \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\):

\[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \]

2. Vì \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\) (\(\alpha\) là góc tù) nên \(\cos \alpha < 0\). Do đó:

\[ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} \]

3. Tính \(\tan \alpha\):

\[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4} \]

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Rút gọn biểu thức \(B = \sin(180^\circ - x) \cdot \cos x + \cos(180^\circ - x) \cdot \sin x\).

Bài 2: Cho \(\cos \alpha = -\frac{12}{13}\). Tính \(\sin \alpha\) và \(\cot \alpha\).

6. Vận dụng thực tế & Mẹo ghi nhớ

📌 Ứng dụng trong Hình học & Vật lý:

• Diện tích tam giác: Công thức tính diện tích tam giác \(S = \frac{1}{2}ab \sin C\) được mở rộng cho cả góc tù \(C\).

• Vật lý (Công của lực): Công \(A = F \cdot s \cdot \cos \alpha\) sử dụng \(\cos \alpha\) với \(\alpha\) là góc giữa hướng của lực và hướng chuyển động (\(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ\)). Nếu góc tù (\(90^\circ < \alpha \le 180^\circ\)), \(\cos \alpha < 0\) nên công \(A < 0\) (công cản).

💡 Mẹo nhớ dấu lượng giác thần tốc:

"Sin bù": Hai góc bù nhau (\(\alpha\) và \(180^\circ - \alpha\)) thì chỉ có Sin bằng nhau, các giá trị còn lại (\(\cos, \tan, \cot\)) đều mang dấu âm của nhau.
Góc tù (\(> 90^\circ\)): Sin luôn dương, tất cả các giá trị lượng giác còn lại (Cos, Tan, Cot) đều mang dấu âm!