BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG II SGK Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Trang 31 - 32)

Chọn A.

Giải thích: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là \(ax + by < c\) (hoặc \(\le, >, \ge\)) với \(a, b\) không đồng thời bằng 0. Do đó, \(x + y > 3\) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn[cite: 2]. Các đáp án còn lại chứa các số mũ bậc 2, 3[cite: 2].

Chọn C.

Giải thích: Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn là nửa mặt phẳng (không kể đường thẳng ranh giới), do đó bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm (ví dụ: các cặp \((2; 0), (0; 4), (1; 2), \dots\) đều là nghiệm).

Chọn B.

Giải thích:

• Vẽ đường thẳng \(d: x - y = 3\) đi qua hai điểm \((3; 0)\) và \((0; -3)\)[cite: 2]. Vì bất phương trình mang dấu "<" nên đường thẳng \(d\) được vẽ bằng nét đứt[cite: 2].
• Thay tọa độ gốc tọa độ \(O(0; 0)\) vào bất phương trình: \(0 - 0 = 0 < 3\) (mệnh đề đúng)[cite: 2]. Do đó miền nghiệm chứa gốc tọa độ \(O(0; 0)\)[cite: 2].
• Vậy phần không bị gạch chứa điểm \(O(0; 0)\) chính là miền nghiệm (hình B)[cite: 2].

Chọn A.

Giải thích: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn[cite: 2]. Hệ ở đáp án A chỉ chứa các ẩn \(x, y\) ở bậc nhất[cite: 2]. Các hệ ở B, C, D chứa các ẩn bậc cao hơn (\(y^3, y^2, x^3\))[cite: 2].

Chọn D.

Giải thích: Thay tọa độ từng điểm vào hệ bất phương trình[cite: 2]:

• Thay điểm \((-3; 1)\): \(\begin{cases} -3 - 1 = -4 < -3 \text{ (Đúng)} \\ 2 \cdot 1 = 2 \ge -4 \text{ (Đúng)} \end{cases}\)[cite: 2]

Vậy điểm \((-3; 1)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình[cite: 2].

Biến đổi bất phương trình đã cho[cite: 2]:

Cách biểu diễn miền nghiệm:

• Vẽ đường thẳng \(d: x - 5y + 2 = 0\) đi qua điểm \((-2; 0)\) và \(\left(0; \frac{2}{5}\right)\).
• Xét điểm \(O(0; 0)\): Thay vào bất phương trình ta có \(0 - 5(0) + 2 \le 0 \Leftrightarrow 2 \le 0\) (Sai).
• Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(d\) không chứa gốc tọa độ \(O(0; 0)\) (bao gồm cả đường thẳng \(d\)).

• Vẽ đường thẳng \(d_1: x + y = 1\) (nét đứt). Thay \(O(0; 0)\) vào bất phương trình \(x + y < 1\) ta có \(0 < 1\) (Đúng). Gạch bỏ phần mặt phẳng chứa \(d_1\) không chứa gốc tọa độ \(O\).
• Vẽ đường thẳng \(d_2: 2x - y = 3\) (nét liền). Thay \(O(0; 0)\) vào bất phương trình \(2x - y \ge 3\) ta có \(0 \ge 3\) (Sai). Gạch bỏ phần mặt phẳng chứa \(d_2\) có chứa gốc tọa độ \(O\).

Kết luận: Miền không bị gạch (bao gồm cả bờ \(d_2\) ngoại trừ giao điểm với \(d_1\)) là miền nghiệm của hệ bất phương trình[cite: 2].

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền đa giác \(ABCD\) (kể cả biên) với các đỉnh:

• \(A(1; 4)\) là giao điểm của \(y = 4\) và \(y - 2x = 2\)[cite: 2].
• \(B(5; 4)\) là giao điểm của \(y = 4\) và \(x = 5\)[cite: 2].
• \(C(5; -6)\) là giao điểm của \(x = 5\) và \(x + y = -1\)[cite: 2].
• \(D(-1; 0)\) là giao điểm của \(x + y = -1\) và \(y - 2x = 2\)[cite: 2].

Tính giá trị của biểu thức \(F(x, y) = -x - y\) tại các đỉnh:

• \(F(A) = F(1, 4) = -1 - 4 = -5\)
• \(F(B) = F(5, 4) = -5 - 4 = -9\)
• \(F(C) = F(5, -6) = -5 - (-6) = 1\)
• \(F(D) = F(-1, 0) = -(-1) - 0 = 1\)

Kết luận:

• Giá trị lớn nhất của \(F(x, y)\) bằng \(1\) tại các điểm thuộc đoạn thẳng \(CD\)[cite: 2].
• Giá trị nhỏ nhất của \(F(x, y)\) bằng \(-9\) tại điểm \(B(5; 4)\)[cite: 2].

Gọi số tiền bác An đầu tư cho trái phiếu ngân hàng là \(x\) (triệu đồng) và trái phiếu doanh nghiệp là \(y\) (triệu đồng)[cite: 2] (\(x \ge 0, y \ge 0\)).

Số tiền đầu tư cho trái phiếu chính phủ là \(1200 - x - y\) (triệu đồng)[cite: 2].

Theo giả thiết ta có các điều kiện[cite: 2]:

• Số tiền đầu tư TP chính phủ gấp ít nhất 3 lần TP ngân hàng: \(1200 - x - y \ge 3x \Leftrightarrow 4x + y \le 1200\)[cite: 2].
• Số tiền đầu tư TP doanh nghiệp không quá 200 triệu: \(y \le 200\)[cite: 2].
• Số tiền đầu tư TP chính phủ phải không âm: \(1200 - x - y \ge 0 \Leftrightarrow x + y \le 1200\)[cite: 2].

Ta thu được hệ bất phương trình ràng buộc[cite: 2]:

Tổng lợi nhuận thu được sau một năm là[cite: 2]:

Miền nghiệm của hệ ràng buộc là tứ giác với các đỉnh: \(O(0; 0)\), \(A(300; 0)\), \(B(250; 200)\), \(C(0; 200)\).

Tính giá trị lợi nhuận tại các đỉnh:

• \(F(O) = F(0, 0) = 84\) triệu đồng[cite: 2].
• \(F(A) = F(300, 0) = 84 + 0,01(300) = 87\) triệu đồng[cite: 2].
• \(F(B) = F(250, 200) = 84 + 0,01(250) + 0,05(200) = 96,5\) triệu đồng[cite: 2].
• \(F(C) = F(0, 200) = 84 + 0,05(200) = 94\) triệu đồng[cite: 2].

Kết luận: Bác An đạt lợi nhuận lớn nhất (\(96,5\) triệu đồng) khi đầu tư[cite: 2]:

• Trái phiếu ngân hàng: \(250\) triệu đồng.
• Trái phiếu doanh nghiệp: \(200\) triệu đồng.
• Trái phiếu chính phủ: \(1200 - 250 - 200 =\) \(750\) triệu đồng.

Gọi thời gian quảng cáo trên đài phát thanh là \(x\) (giây) và trên truyền hình là \(y\) (giây)[cite: 2] (\(x \ge 0, y \ge 0\)).

Theo giả thiết ta có các điều kiện[cite: 2]:

• Thời lượng tối đa đài phát thanh: \(x \le 900\)[cite: 2].
• Thời lượng tối đa đài truyền hình: \(y \le 360\)[cite: 2].
• Tổng chi phí tối đa \(160\) triệu đồng (\(160\,000\) nghìn đồng): \(80x + 400y \le 160\,000 \Leftrightarrow x + 5y \le 2\,000\)[cite: 2].

Hệ bất phương trình ràng buộc[cite: 2]:

Hàm hiệu quả cần tối ưu là[cite: 2]: \(F(x, y) = x + 8y\)[cite: 2].

Miền nghiệm của hệ ràng buộc là ngũ giác \(OABCD\) với các đỉnh[cite: 2]:

• \(O(0; 0)\)[cite: 2]
• \(A(900; 0)\)[cite: 2]
• \(B(900; 220)\) (với \(220 = \frac{2000 - 900}{5}\))[cite: 2]
• \(C(200; 360)\) (với \(200 = 2000 - 5 \cdot 360\))[cite: 2]
• \(D(0; 360)\)[cite: 2]

Tính giá trị của hàm hiệu quả \(F(x, y)\) tại các đỉnh[cite: 2]:

• \(F(O) = F(0, 0) = 0\)[cite: 2]
• \(F(A) = F(900, 0) = 900 + 8(0) = 900\)[cite: 2]
• \(F(B) = F(900, 220) = 900 + 8(220) = 2\,660\)[cite: 2]
• \(F(C) = F(200, 360) = 200 + 8(360) = 3\,080\)[cite: 2]
• \(F(D) = F(0, 360) = 0 + 8(360) = 2\,880\)[cite: 2]

Kết luận: Để đạt hiệu quả cao nhất, công ty nên đặt thời lượng quảng cáo[cite: 2]:

• Trên đài phát thanh: \(200\) giây.
• Trên đài truyền hình: \(360\) giây.