10 Bài Toán Hệ Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn - Toán 10 KNTT

10 BÀI TOÁN HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Chủ đề: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn & Bài toán tối ưu hóa / Lập kế hoạch thực tế (Toán 10 - Kết nối tri thức).
Gợi ý chung: Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường là một đa giác. Giá trị lớn nhất / nhỏ nhất của biểu thức $F(x, y) = ax + by$ luôn đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác miền nghiệm đó.

Bài 1: Xác định điểm thuộc miền nghiệm

Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: $$\begin{cases} x + 2y - 4 \le 0 \\ 2x - y + 1 > 0 \end{cases}$$ Kiểm tra xem các điểm $A(0; 1)$, $B(2; 3)$ và $C(-1; 1)$ có thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hay không.

Lời giải chi tiết:

Thay tọa độ từng điểm vào hệ bất phương trình:

Xét điểm $A(0; 1)$:
Thay $x = 0, y = 1$ vào hệ: $$\begin{cases} 0 + 2(1) - 4 = -2 \le 0 \quad \text{(Đúng)} \\ 2(0) - 1 + 1 = 0 > 0 \quad \text{(Sai)} \end{cases}$$ Vì điểm $A$ không thỏa mãn bất phương trình thứ hai nên $A(0; 1)$ không thuộc miền nghiệm.
Xét điểm $B(2; 3)$:
Thay $x = 2, y = 3$ vào hệ: $$\begin{cases} 2 + 2(3) - 4 = 4 \le 0 \quad \text{(Sai)} \\ 2(2) - 3 + 1 = 2 > 0 \quad \text{(Đúng)} \end{cases}$$ Do đó $B(2; 3)$ không thuộc miền nghiệm.
Xét điểm $C(-1; 1)$:
Thay $x = -1, y = 1$ vào hệ: $$\begin{cases} -1 + 2(1) - 4 = -3 \le 0 \quad \text{(Đúng)} \\ 2(-1) - 1 + 1 = -2 > 0 \quad \text{(Sai)} \end{cases}$$ Do đó $C(-1; 1)$ không thuộc miền nghiệm.

Bài 2: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đơn giản

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$: $$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 4 \end{cases}$$

Lời giải chi tiết:

Vẽ trục tọa độ $Oxy$. Điều kiện $x \ge 0$ và $y \ge 0$ giới hạn miền nghiệm nằm ở góc phần tư thứ nhất (kể cả hai trục tọa độ).
Vẽ đường thẳng $d: x + y = 4$.
- $d$ đi qua hai điểm $A(4; 0)$ và $B(0; 4)$.
Xét điểm gốc tọa độ $O(0; 0)$: Thay $x = 0, y = 0$ vào $x + y \le 4 \Rightarrow 0 + 0 = 0 \le 4$ (đúng).
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $x + y \le 4$ chứa gốc tọa độ $O$.
Kết luận: Miền nghiệm của hệ bất phương trình là hình tam giác $OAB$ (kể cả các cạnh) với tọa độ các đỉnh là $O(0; 0)$, $A(4; 0)$, và $B(0; 4)$.

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức trên miền đa giác

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F(x, y) = 3x + 2y$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình: $$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + 2y \le 6 \\ 2x + y \le 6 \end{cases}$$

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ

Miền nghiệm của hệ là một tứ giác $OABC$ trong góc phần tư thứ nhất với các đường thẳng:

$d_1: x + 2y = 6$ đi qua $(6; 0)$ và $(0; 3)$.
$d_2: 2x + y = 6$ đi qua $(3; 0)$ và $(0; 6)$.

Giải hệ phương trình giao điểm của $d_1$ và $d_2$:

$$\begin{cases} x + 2y = 6 \\ 2x + y = 6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 2 \\ y = 2 \end{cases} \Rightarrow B(2; 2)$$

Tọa độ các đỉnh của miền nghiệm tứ giác $OABC$ là:

$$O(0; 0), \quad A(3; 0), \quad B(2; 2), \quad C(0; 3)$$

Bước 2: Tính giá trị của $F(x, y) = 3x + 2y$ tại các đỉnh

Tại $O(0; 0)$: $F(0, 0) = 3(0) + 2(0) = 0$
Tại $A(3; 0)$: $F(3, 0) = 3(3) + 2(0) = 9$
Tại $B(2; 2)$: $F(2, 2) = 3(2) + 2(2) = 10$
Tại $C(0; 3)$: $F(0, 3) = 3(0) + 2(3) = 6$

Kết luận: Giá trị lớn nhất của $F(x, y)$ là $F_{\max} = 10$, đạt được tại $x = 2, y = 2$.

Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x, y)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F(x, y) = 2x - 3y$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình: $$\begin{cases} x - y \ge -2 \\ x + y \le 4 \\ x \ge -1 \\ y \ge 0 \end{cases}$$

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm tọa độ các đỉnh của miền nghiệm

Miền nghiệm là đa giác tạo bởi các đường thẳng:

$d_1: x - y = -2$
$d_2: x + y = 4$
$d_3: x = -1$
$d_4: y = 0$

Tìm giao điểm giữa các đường thẳng boundary:

Giao của $d_3 (x=-1)$ và $d_4 (y=0)$: $A(-1; 0)$.
Giao của $d_1 (x-y=-2)$ và $d_3 (x=-1)$: $-1 - y = -2 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow B(-1; 1)$.
Giao của $d_1 (x-y=-2)$ và $d_2 (x+y=4)$: cộng 2 vế ta có $2x = 2 \Rightarrow x = 1, y = 3 \Rightarrow C(1; 3)$.
Giao của $d_2 (x+y=4)$ và $d_4 (y=0)$: $x = 4 \Rightarrow D(4; 0)$.

Tứ giác miền nghiệm có các đỉnh là $A(-1; 0)$, $B(-1; 1)$, $C(1; 3)$, $D(4; 0)$.

Bước 2: Tính giá trị $F(x, y) = 2x - 3y$ tại các đỉnh

Tại $A(-1; 0)$: $F(-1, 0) = 2(-1) - 3(0) = -2$
Tại $B(-1; 1)$: $F(-1, 1) = 2(-1) - 3(1) = -5$
Tại $C(1; 3)$: $F(1, 3) = 2(1) - 3(3) = -7$
Tại $D(4; 0)$: $F(4, 0) = 2(4) - 3(0) = 8$

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của $F(x, y)$ là $F_{\min} = -7$, đạt được tại $x = 1, y = 3$.

Bài 5: Bài toán thực tế - Lập kế hoạch sản xuất hai loại sản phẩm

Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất 1 kg sản phẩm loại I cần 2 giờ làm việc và 1 kg nguyên liệu. Để sản xuất 1 kg sản phẩm loại II cần 1 giờ làm việc và 3 kg nguyên liệu. Xưởng có tối đa 12 giờ làm việc và 15 kg nguyên liệu. Biết 1 kg sản phẩm loại I lãi 40 nghìn đồng, 1 kg sản phẩm loại II lãi 30 nghìn đồng. Hỏi xưởng nên sản xuất bao nhiêu kg mỗi loại để tiền lãi thu được là lớn nhất?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Lập hệ bất phương trình

Gọi $x$ (kg) là số kg sản phẩm loại I, $y$ (kg) là số kg sản phẩm loại II sản xuất ($x \ge 0, y \ge 0$).

Thời gian làm việc cần dùng: $2x + y$ (giờ). Vì tối đa 12 giờ nên: $2x + y \le 12$.
Số nguyên liệu cần dùng: $x + 3y$ (kg). Vì tối đa 15 kg nên: $x + 3y \le 15$.

Ta có hệ bất phương trình mô tả điều kiện:

$$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ 2x + y \le 12 \\ x + 3y \le 15 \end{cases}$$

Tổng số tiền lãi thu được (đơn vị: nghìn đồng) là: $F(x, y) = 40x + 30y$.

Bước 2: Tìm miền nghiệm và các đỉnh

Miền nghiệm là tứ giác $OABC$ với các đỉnh:

$O(0; 0)$
$A(6; 0)$ (giao điểm của $2x + y = 12$ với trục $Ox$)
$B(4; 3)$ (giao điểm của $2x + y = 12$ và $x + 3y = 15$)
$C(0; 5)$ (giao điểm của $x + 3y = 15$ với trục $Oy$)

Bước 3: Tính giá trị tiền lãi tại các đỉnh

$F(0, 0) = 0$
$F(6, 0) = 40(6) + 30(0) = 240$
$F(4, 3) = 40(4) + 30(3) = 160 + 90 = 250$
$F(0, 5) = 40(0) + 30(5) = 150$

Kết luận: Xưởng nên sản xuất 4 kg sản phẩm loại I và 3 kg sản phẩm loại II để thu được tiền lãi lớn nhất là 250 nghìn đồng.

Bài 6: Biểu diễn miền nghiệm chứa tham số

Cho hệ bất phương trình: $$\begin{cases} x + y \le 3 \\ x - y \ge -1 \\ y \ge 0 \end{cases}$$ Tính diện tích $S$ của miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định hình dạng miền nghiệm

Miền nghiệm được giới hạn bởi 3 đường thẳng:

$d_1: x + y = 3$
$d_2: x - y = -1$
$d_3: y = 0$ (trục hoành $Ox$)

Bước 2: Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác miền nghiệm

Giao điểm $A$ của $d_1$ và $d_2$: $$\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases} \Rightarrow A(1; 2)$$
Giao điểm $B$ của $d_1$ và trục $Ox$ ($y = 0$): $x + 0 = 3 \Rightarrow B(3; 0)$.
Giao điểm $C$ của $d_2$ và trục $Ox$ ($y = 0$): $x - 0 = -1 \Rightarrow C(-1; 0)$.

Bước 3: Tính diện tích tam giác $ABC$

Tam giác $ABC$ có đáy $BC$ nằm trên trục hoành:

$$\text{Độ dài đáy } BC = |x_B - x_C| = |3 - (-1)| = 4$$ $$\text{Chiều cao } h = y_A = 2$$ $$\text{Diện tích } S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$$

Kết luận: Diện tích miền nghiệm là $S = 4$ (đơn vị diện tích).

Bài 7: Bài toán thực tế - Khẩu phần dinh dưỡng tối thiểu

Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipid trong thức ăn mỗi ngày. Gia đình này chọn mua hai loại thực phẩm I và II. Mỗi kg thực phẩm I chứa 600 đơn vị protein và 200 đơn vị lipid. Mỗi kg thực phẩm II chứa 300 đơn vị protein và 200 đơn vị lipid. Giá tiền mỗi kg thực phẩm I là 120 nghìn đồng, thực phẩm II là 80 nghìn đồng. Lập phương án mua để chi phí là nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Lập hệ bất phương trình

Gọi $x, y$ (kg) lần lượt là số kg thực phẩm I và II cần mua ($x \ge 0, y \ge 0$).

Lượng protein thu được: $600x + 300y \ge 900 \Leftrightarrow 2x + y \ge 3$.
Lượng lipid thu được: $200x + 200y \ge 400 \Leftrightarrow x + y \ge 2$.

Hệ bất phương trình mô tả bài toán:

$$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ 2x + y \ge 3 \\ x + y \ge 2 \end{cases}$$

Tổng chi phí mua thực phẩm (nghìn đồng): $T(x, y) = 120x + 80y$.

Bước 2: Tìm các đỉnh của miền nghiệm mở

Miền nghiệm là miền không bị giới hạn phía trên, nằm ở góc phần tư thứ nhất, với các đỉnh biên:

$A(0; 3)$: Giao điểm của $2x + y = 3$ với trục $Oy$.
$B(1; 1)$: Giao điểm của $2x + y = 3$ và $x + y = 2$.
$C(2; 0)$: Giao điểm của $x + y = 2$ với trục $Ox$.

Bước 3: Tính chi phí tại các đỉnh biên

Tại $A(0; 3)$: $T(0, 3) = 120(0) + 80(3) = 240$ nghìn đồng.
Tại $B(1; 1)$: $T(1, 1) = 120(1) + 80(1) = 200$ nghìn đồng.
Tại $C(2; 0)$: $T(2, 0) = 120(2) + 80(0) = 240$ nghìn đồng.

Kết luận: Chi phí nhỏ nhất là 200 nghìn đồng khi gia đình mua 1 kg thực phẩm I và 1 kg thực phẩm II.

Bài 8: Lập hệ bất phương trình từ miền nghiệm cho trước

Tìm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có miền nghiệm là miền tam giác $ABC$ (bao gồm cả biên), biết tọa độ các đỉnh là $A(0; 2)$, $B(-2; 0)$ và $C(2; 0)$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Lập phương trình các đường thẳng chứa các cạnh

Cạnh $BC$: Đi qua $B(-2; 0)$ và $C(2; 0)$, chính là trục hoành $Ox$. Phương trình: $y = 0$.
Vì tam giác nằm phía trên trục hoành nên ta có bất phương trình: $y \ge 0$.
Cạnh $AB$: Đi qua $A(0; 2)$ và $B(-2; 0)$.
Phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{-2} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow -x + y = 2 \Leftrightarrow x - y = -2$.
Thử điểm $C(2; 0)$ vào vế trái: $2 - 0 = 2 \ge -2$.
Vậy bất phương trình chứa miền tam giác là: $x - y \ge -2$.
Cạnh $AC$: Đi qua $A(0; 2)$ và $C(2; 0)$.
Phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x + y = 2$.
Thử điểm $B(-2; 0)$ vào vế trái: $-2 + 0 = -2 \le 2$.
Vậy bất phương trình chứa miền tam giác là: $x + y \le 2$.

Kết luận: Hệ bất phương trình cần tìm là:

$$\begin{cases} y \ge 0 \\ x - y \ge -2 \\ x + y \le 2 \end{cases}$$

Bài 9: Tìm tham số m để điểm thuộc miền nghiệm

Cho hệ bất phương trình: $$\begin{cases} 2x - y + 3 > 0 \\ x + 3y - 5 \le 0 \end{cases}$$ Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để điểm $M(m; m - 1)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

Lời giải chi tiết:

Để điểm $M(m; m - 1)$ thuộc miền nghiệm của hệ, ta thay $x = m$ và $y = m - 1$ vào hệ bất phương trình:

$$\begin{cases} 2m - (m - 1) + 3 > 0 \\ m + 3(m - 1) - 5 \le 0 \end{cases}$$

Giải từng bất phương trình theo $m$:

Bất phương trình (1): $$2m - m + 1 + 3 > 0 \Leftrightarrow m + 4 > 0 \Leftrightarrow m > -4$$
Bất phương trình (2): $$m + 3m - 3 - 5 \le 0 \Leftrightarrow 4m - 8 \le 0 \Leftrightarrow 4m \le 8 \Leftrightarrow m \le 2$$

Kết hợp hai điều kiện trên, ta được:

$$-4 < m \le 2$$

Kết luận: Các giá trị tham số $m$ cần tìm là $-4 < m \le 2$ (hay $m \in (-4; 2]$).

Bài 10: Bài toán thực tế - Tối ưu hóa chi phí quảng cáo

Một công ty dự định kinh doanh hai loại hình dịch vụ quảng cáo: trên Đài truyền hình và trên Đài phát thanh. Chi phí cho 1 phút quảng cáo trên Đài truyền hình là 20 triệu đồng, trên Đài phát thanh là 4 triệu đồng. Công ty dự định chi không quá 160 triệu đồng cho quảng cáo. Đài truyền hình chỉ nhận phát tối đa 6 phút, Đài phát thanh nhận phát tối thiểu 4 phút. Biết hiệu quả quảng cáo (số lượt khách hàng tiếp cận) ước tính: 1 phút trên Truyền hình đem lại 40 nghìn lượt, 1 phút trên Phát thanh đem lại 10 nghìn lượt. Hỏi công ty nên đặt thời lượng quảng cáo trên mỗi đài bao nhiêu phút để đạt hiệu quả cao nhất?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Lập hệ bất phương trình

Gọi $x$ (phút) là thời lượng quảng cáo trên Truyền hình, $y$ (phút) là thời lượng quảng cáo trên Phát thanh.

Theo đề bài ta có các điều kiện:

Thời lượng truyền hình: $0 \le x \le 6$.
Thời lượng phát thanh: $y \ge 4$.
Tổng chi phí quảng cáo: $20x + 4y \le 160 \Leftrightarrow 5x + y \le 40$.

Hệ bất phương trình mô tả miền nghiệm:

$$\begin{cases} 0 \le x \le 6 \\ y \ge 4 \\ 5x + y \le 40 \end{cases}$$

Biểu thức tính hiệu quả quảng cáo (nghìn lượt khách): $E(x, y) = 40x + 10y$.

Bước 2: Tìm tọa độ các đỉnh của miền nghiệm

Miền nghiệm là một tứ giác vuông $ABCD$ với các đường giới hạn:

$x = 0, x = 6, y = 4$ và đường thẳng $5x + y = 40$.

Tọa độ các đỉnh:

$A(0; 4)$: Giao của $x = 0$ và $y = 4$.
$B(0; 40)$: Giao của $x = 0$ và $5x + y = 40$.
$C(6; 10)$: Giao của $x = 6$ và $5x + y = 40$ (suy ra $y = 40 - 30 = 10$).
$D(6; 4)$: Giao của $x = 6$ và $y = 4$.

Bước 3: Tính giá trị hiệu quả $E(x, y)$ tại các đỉnh

Tại $A(0; 4)$: $E(0, 4) = 40(0) + 10(4) = 40$
Tại $B(0; 40)$: $E(0, 40) = 40(0) + 10(40) = 400$
Tại $C(6; 10)$: $E(6, 10) = 40(6) + 10(10) = 240 + 100 = 340$
Tại $D(6; 4)$: $E(6, 4) = 40(6) + 10(4) = 240 + 40 = 280$

Kết luận: Để đạt hiệu quả cao nhất (400 nghìn lượt khách tiếp cận), công ty nên phát 0 phút trên Truyền hình và 40 phút trên Phát thanh (vừa đủ ngân sách 160 triệu đồng).