Bài 4: Hệ Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

Giải thích: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x, y\).
- A gồm hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
- B có chứa \(x^2\) (bậc hai).
- C có chứa tích \(xy\) (bậc hai).
- D chứa 3 ẩn \(x, y, z\).

Giải thích: Thay \((1; 1)\) vào hệ:
- \(2(1) + 3(1) - 6 = -1 \le 0\) (Đúng).
- \(1 \ge 0\) và \(1 \ge 0\) (Đúng).
Các cặp còn lại đều vi phạm ít nhất một điều kiện của hệ.

Giải thích: Thay \((2; 1)\) vào bất phương trình thứ nhất:
\(2 - 1 = 1 \nless 0\) (Mệnh đề sai).
Do đó điểm \((2; 1)\) không thuộc miền nghiệm của hệ.

Giải thích: Điều kiện \(x \ge 0\) và \(y \ge 0\) ứng với tập hợp các điểm có hoành độ và tung độ không âm, chính là góc phần tư thứ nhất trong hệ trục tọa độ \(Oxy\).

Giải thích: Giá trị lớn nhất của \(F(x; y)\) đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác miền nghiệm:
- Tại \(A(0; 0)\): \(F(0; 0) = 2(0) + 3(0) = 0\)
- Tại \(B(4; 0)\): \(F(4; 0) = 2(4) + 3(0) = 8\)
- Tại \(C(0; 3)\): \(F(0; 3) = 2(0) + 3(3) = 9\)
So sánh các giá trị, giá trị lớn nhất của \(F\) là \(9\) tại điểm \(C(0; 3)\).

Giải thích: Tính giá trị của \(F(x; y) = x - 2y\) tại tất cả các đỉnh:
- \(F(O) = 0 - 0 = 0\)
- \(F(A) = 3 - 0 = 3\)
- \(F(B) = 3 - 2(2) = -1\)
- \(F(C) = 1 - 2(4) = -7\)
- \(F(D) = 0 - 2(3) = -6\)
Giá trị nhỏ nhất thu được là \(-7\) tại đỉnh \(C(1; 4)\).

Giải thích: Miền nghiệm là tam giác vuông \(OAB\) được giới hạn bởi hai trục tọa độ và đường thẳng \(x + y = 2\).
Tọa độ hai giao điểm trên các trục: \(A(2; 0)\) và \(B(0; 2)\).
Diện tích tam giác vuông \(OAB\) là \(S = \dfrac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\).

Giải thích: Tìm giao điểm các đường thẳng ranh giới nằm trong góc phần tư thứ nhất:
- \(O(0; 0)\)
- \(A(3; 0)\) (giao của \(x+y=3\) và \(y=0\))
- \(B(1; 2)\) (giao của \(x-y=-1\) và \(x+y=3\))
- \(C(0; 1)\) (giao của \(x-y=-1\) và \(x=0\))
Do đó miền nghiệm là tứ giác \(OABC\).

Giải thích: Theo định nghĩa, miền nghiệm của hệ bất phương trình là tập hợp các điểm thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ, tức là giao của các miền nghiệm thành phần.

Giải thích:
Hệ điều kiện ràng buộc ($x, y \ge 0$):
\(\begin{cases} 2x + y \le 8 \quad (\text{Thời gian}) \\ x + 2y \le 7 \quad (\text{Nguyên liệu}) \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}\)
Các đỉnh của miền nghiệm tứ giác thu được là: \(O(0; 0)\), \(M(4; 0)\), \(N(3; 2)\), \(P(0; 3.5)\).
Hàm lợi nhuận: \(F(x; y) = 400x + 300y\) (nghìn đồng).
- \(F(O) = 0\)
- \(F(M) = 400(4) = 1600\)
- \(F(N) = 400(3) + 300(2) = 1800\)
- \(F(P) = 300(3.5) = 1050\)
Lợi nhuận lớn nhất đạt được là \(1.800.000\) đồng tại \(N(3; 2)\) (sản xuất 3 kg loại A và 2 kg loại B).