📘 BÀI HỌC TOÁN 10: HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Lời giải:

1. Vẽ các đường thẳng:

• \(d_1: x + y = 3\) đi qua \((0; 3)\) và \((3; 0)\).
• \(d_2: x - y = -1\) đi qua \((0; 1)\) và \((1; 2)\).
• \(d_3: x = 0\) (Trục \(Oy\)) và \(d_4: y = 0\) (Trục \(Ox\)).

2. Kiểm tra điểm \(O(0;0)\):

• \(0 + 0 = 0 \le 3\) (Đúng) \(\Rightarrow\) Giữ lại nửa mặt phẳng chứa \(O\) bờ \(d_1\).
• \(0 - 0 = 0 \ge -1\) (Đúng) \(\Rightarrow\) Giữ lại nửa mặt phẳng chứa \(O\) bờ \(d_2\).
• \(x \ge 0, y \ge 0 \Rightarrow\) Giữ lại góc phần tư thứ I.

3. Kết luận: Miền nghiệm của hệ là tứ giác \(OABC\) (kể cả biên) với các đỉnh \(O(0; 0)\), \(A(3; 0)\), \(B(1; 2)\), và \(C(0; 1)\).

Lời giải:

Miền nghiệm của hệ là tứ giác \(OABC\) với các đỉnh \(O(0;0)\), \(A(3;0)\), \(B(1;2)\), \(C(0;1)\).

Tính giá trị của \(F(x; y) = 2x + 3y\) tại các đỉnh:

• Tại \(O(0; 0)\): \(F(0; 0) = 2(0) + 3(0) = 0\)
• Tại \(A(3; 0)\): \(F(3; 0) = 2(3) + 3(0) = 6\)
• Tại \(B(1; 2)\): \(F(1; 2) = 2(1) + 3(2) = 8\)
• Tại \(C(0; 1)\): \(F(0; 1) = 2(0) + 3(1) = 3\)

So sánh các giá trị trên, ta thấy giá trị lớn nhất của \(F\) là \(8\), đạt được tại điểm \(B(1; 2)\).

Lời giải:

1. Gọi \(x, y\) (kg) lần lượt là số kg sản phẩm I và II sản xuất trong ngày (\(x \ge 0, y \ge 0\)).

2. Lập hệ điều kiện ràng buộc:

\[ \begin{cases} 2x + y \le 8 & \text{(thời gian máy M1)} \\ x + y \le 5 & \text{(thời gian máy M2)} \\ x \ge 0, \; y \ge 0 \end{cases} \]

3. Biểu thức lợi nhuận cần tối ưu: \(F(x; y) = 40x + 30y\) (nghìn đồng).

4. Miền nghiệm của hệ là tứ giác \(OABC\) với \(O(0;0)\), \(A(4;0)\), \(B(3;2)\), \(C(0;5)\).

5. Tính \(F(x;y)\) tại các đỉnh:

• \(F(0;0) = 0\)
• \(F(4;0) = 160\)
• \(F(3;2) = 40(3) + 30(2) = 180\)
• \(F(0;5) = 150\)

Kết luận: Công ty nên sản xuất 3 kg sản phẩm I và 2 kg sản phẩm II để đạt lợi nhuận tối đa là 180 nghìn đồng/ngày.