Bài 4. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 4. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

2.4. Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
  1. \(\begin{cases} x < 0 \\ y \ge 0 \end{cases}\)
  2. \(\begin{cases} x + y^2 < 0 \\ y - x > 1 \end{cases}\)
  3. \(\begin{cases} x + y + z < 0 \\ y < 0 \end{cases}\)
  4. \(\begin{cases} -2x + y < 3^2 \\ 4^2x + 3y < 1 \end{cases}\)
Lời giải:
  • a) Là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (gồm hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x, y\)).
  • b) Không phải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (vì chứa \(y^2\) là bậc hai).
  • c) Không phải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (vì có ba ẩn \(x, y, z\)).
  • d) Là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (vì \(3^2 = 9\) và \(4^2 = 16\), hệ có dạng \(\begin{cases} -2x + y < 9 \\ 16x + 3y < 1 \end{cases}\)).
2.5. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:
  1. \(\begin{cases} y - x < -1 \\ x > 0 \\ y < 0 \end{cases}\)
  2. \(\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ 2x + y \le 4 \end{cases}\)
  3. \(\begin{cases} x \ge 0 \\ x + y > 5 \\ x - y < 0 \end{cases}\)
Lời giải:
  • a)
    • Vẽ đường thẳng \(d_1: y - x = -1\) đi qua \((0; -1)\) và \((1; 0)\). Miền nghiệm của \(y - x < -1\) là nửa mặt phẳng bờ \(d_1\) không chứa gốc tọa độ \(O(0;0)\) (không kể đường thẳng \(d_1\)).
    • Miền nghiệm của \(x > 0\) là nửa mặt phẳng bên phải trục tung \(Oy\) (không kể \(Oy\)).
    • Miền nghiệm của \(y < 0\) là nửa mặt phẳng bên dưới trục hoành \(Ox\) (không kể \(Ox\)).
    • Kết luận: Miền nghiệm của hệ là miền không gạch chéo giới hạn bởi đường thẳng \(d_1\) và hai trục tọa độ \(Ox, Oy\) (không chứa các đường biên).
  • b)
    • \(x \ge 0, y \ge 0\) xác định góc phần tư thứ nhất (bao gồm hai tia \(Ox, Oy\)).
    • Vẽ đường thẳng \(d_2: 2x + y = 4\) đi qua \((0; 4)\) và \((2; 0)\). Thử điểm \(O(0;0)\) có \(2(0) + 0 = 0 \le 4\) (đúng).
    • Kết luận: Miền nghiệm của hệ là miền tam giác \(OAB\) (kể cả các cạnh) với các đỉnh \(O(0;0)\), \(A(2;0)\) và \(B(0;4)\).
  • c)
    • Vẽ các đường thẳng:
      \(d_3: x + y = 5\) đi qua \((0;5)\) và \((5;0)\).
      \(d_4: x - y = 0\) đi qua \(O(0;0)\) và \((1;1)\).
    • Thử các điểm phù hợp để xác định nửa mặt phẳng cho từng bất phương trình.
    • Kết luận: Miền nghiệm của hệ là miền góc mở nằm phía bên phải trục tung \(Oy\), bên trên đường thẳng \(d_3\) và bên trên đường thẳng \(d_4\) (kể cả tia nằm trên trục \(Oy\), không kể các đường thẳng \(d_3, d_4\)).
2.6. Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn; giá tiền 1 kg thịt bò là 250 nghìn đồng; 1 kg thịt lợn là 160 nghìn đồng. Giả sử gia đình đó mua \(x\) kilôgam thịt bò và \(y\) kilôgam thịt lợn.
  1. Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.
  2. Gọi \(F\) (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho \(x\) kilôgam thịt bò và \(y\) kilôgam thịt lợn. Hãy biểu diễn \(F\) theo \(x\) và \(y\).
  3. Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất.
Lời giải:
  • a) Lập hệ bất phương trình và xác định miền nghiệm:
    • Điều kiện lượng thịt mua: \(0 \le x \le 1,6\) và \(0 \le y \le 1,1\).
    • Lượng protein thu được: \(800x + 600y \ge 900 \Leftrightarrow 8x + 6y \ge 9\).
    • Lượng lipit thu được: \(200x + 400y \ge 400 \Leftrightarrow x + 2y \ge 2\).
    • Ta có hệ bất phương trình: \[\begin{cases} 0 \le x \le 1,6 \\ 0 \le y \le 1,1 \\ 8x + 6y \ge 9 \\ x + 2y \ge 2 \end{cases}\]
    • Miền nghiệm của hệ là miền đa giác \(ABCD\) (kể cả các cạnh) trên mặt phẳng tọa độ với các đỉnh có tọa độ:
      \(A(0,6; 0,7)\) là giao điểm của \(8x + 6y = 9\) và \(x + 2y = 2\).
      \(B(1,6; 0,2)\) là giao điểm của \(x = 1,6\) và \(x + 2y = 2\).
      \(C(1,6; 1,1)\) là giao điểm của \(x = 1,6\) và \(y = 1,1\).
      \(D(0,3; 1,1)\) là giao điểm của \(y = 1,1\) và \(8x + 6y = 9\).
  • b) Biểu diễn \(F\) theo \(x\) và \(y\):
    Số tiền mua thịt tính theo nghìn đồng là: \(F(x, y) = 250x + 160y\).
  • c) Tìm chi phí ít nhất:
    Giá trị của \(F(x, y)\) đạt cực trị tại các đỉnh của miền nghiệm đa giác \(ABCD\):
    • Tại \(A(0,6; 0,7)\): \(F(0,6; 0,7) = 250(0,6) + 160(0,7) = 150 + 112 = 262\) (nghìn đồng).
    • Tại \(B(1,6; 0,2)\): \(F(1,6; 0,2) = 250(1,6) + 160(0,2) = 400 + 32 = 432\) (nghìn đồng).
    • Tại \(C(1,6; 1,1)\): \(F(1,6; 1,1) = 250(1,6) + 160(1,1) = 400 + 176 = 576\) (nghìn đồng).
    • Tại \(D(0,3; 1,1)\): \(F(0,3; 1,1) = 250(0,3) + 160(1,1) = 75 + 176 = 251\) (nghìn đồng).
    So sánh các giá trị trên, ta thấy \(F\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(251\) nghìn đồng tại điểm \(D(0,3; 1,1)\).
    Kết luận: Gia đình cần mua 0,3 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn để chi phí là ít nhất (251.000 đồng).