Bài học Toán THPT - Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

📘 BÀI HỌC TOÁN 10: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Chương II: Bất phương trình và Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn - Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống

📚 Nội dung bài học

1. Khái niệm Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

📌 Định nghĩa:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x, y\) là bất phương trình có một trong các dạng tổng quát:

\[ ax + by < c \quad (\text{hoặc } ax + by \le c, \; ax + by > c, \; ax + by \ge c) \]

Trong đó \(a, b, c\) là những số thực cho trước sao cho \(a^2 + b^2 \ne 0\) (tức là \(a\) và \(b\) không đồng thời bằng \(0\)); \(x\) và \(y\) là các ẩn số.

Đặc điểm nhận biết:

  • Chứa tối đa hai ẩn số (thường ký hiệu là \(x\) và \(y\)).
  • Bậc của mỗi ẩn số đều bằng \(1\).
  • Không chứa tích của hai ẩn (như \(xy\)) hay ẩn ở mẫu số.
💡 Ví dụ nhận biết:
  • \(2x - 3y + 5 \le 0\) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
  • \(x^2 + y > 1\) không phải (vì ẩn \(x\) có bậc 2).
  • \(xy - y > 0\) không phải (vì có tích \(xy\)).

2. Nghiệm của Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

📌 Định nghĩa nghiệm:

Mỗi cặp số \((x_0; y_0)\) làm cho mệnh đề \(ax_0 + by_0 < c\) (hoặc \(\le, >, \ge\)) trở thành một mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình đó.

Khác với phương trình bậc nhất một ẩn thường có nghiệm duy nhất, một bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm. Tập hợp tất cả các nghiệm đó được gọi là miền nghiệm.

Ví dụ

Cặp số \((1; 2)\) có phải là nghiệm của bất phương trình \(2x - y + 1 > 0\) không?

Lời giải:

Thay \(x = 1\) và \(y = 2\) vào vế trái của bất phương trình, ta được:

\[ 2 \cdot (1) - 2 + 1 = 2 - 2 + 1 = 1 \]

Vì \(1 > 0\) là mệnh đề đúng, nên cặp số \((1; 2)\) là một nghiệm của bất phương trình.

3. Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), đường thẳng \(\Delta: ax + by = c\) chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(\Delta\).

📌 Tính chất miền nghiệm:
  • Một trong hai nửa mặt phẳng (không kể bờ \(\Delta\)) là miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by < c\). Nửa mặt phẳng còn lại là miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by > c\).
  • Nếu bất phương trình chứa dấu "\(\le\)" hoặc "\(\ge\)" thì miền nghiệm bao gồm cả bờ \(\Delta\).
⚠️ Lưu ý về nét vẽ bờ \(\Delta\):
  • Với các bất phương trình có dấu \(\le\) hoặc \(\ge\): Vẽ đường thẳng \(\Delta\) bằng nét liền (lấy cả bờ).
  • Với các bất phương trình có dấu \(<\) hoặc \(>\): Vẽ đường thẳng \(\Delta\) bằng nét đứt (không lấy bờ).

4. Quy trình tổng quát xác định miền nghiệm

📌 Các bước biểu diễn miền nghiệm của \(ax + by \le c\):
  1. Bước 1: Vẽ đường thẳng \(\Delta: ax + by = c\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).
  2. Bước 2: Lấy một điểm \(M_0(x_0; y_0)\) không thuộc đường thẳng \(\Delta\) (thường chọn gốc tọa độ \(O(0;0)\) nếu \(\Delta\) không đi qua gốc tọa độ). Tính giá trị \(T = ax_0 + by_0\).
  3. Bước 3: So sánh \(T\) và \(c\):
    • Nếu \(T \le c\) thì nửa mặt phẳng chứa điểm \(M_0\) (kể cả bờ \(\Delta\)) là miền nghiệm cần tìm.
    • Nếu \(T > c\) thì nửa mặt phẳng không chứa điểm \(M_0\) (kể cả bờ \(\Delta\)) là miền nghiệm cần tìm.
  4. Bước 4: Kết luận và gạch bỏ phần mặt phẳng không thuộc miền nghiệm.

5. Ví dụ minh họa & Luyện tập

Ví dụ 1 Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(x + 2y \le 4\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).

Lời giải:

1. Vẽ đường thẳng \(d: x + 2y = 4\):

  • Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 2\), ta được điểm \(A(0; 2)\).
  • Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 4\), ta được điểm \(B(4; 0)\).
  • Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A\) và \(B\). Vẽ \(d\) bằng nét liền.

2. Xét gốc tọa độ \(O(0; 0)\) không thuộc \(d\): Thay \(x = 0, y = 0\) vào vế trái ta có \(0 + 2(0) = 0 \le 4\) (đúng).

3. Kết luận: Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ \(d\) chứa gốc tọa độ \(O(0; 0)\) (kể cả bờ \(d\)).

Ví dụ 2 Bất phương trình không chứa gốc tọa độ

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(3x - 2y > 0\).

Lời giải:

1. Vẽ đường thẳng \(d: 3x - 2y = 0\):

  • \(\Delta\) đi qua gốc tọa độ \(O(0; 0)\) và điểm \(M(2; 3)\). Vẽ \(d\) bằng nét liền.

2. Chọn điểm \(N(1; 0)\) không thuộc \(d\): Thay \(x = 1, y = 0\) vào vế trái ta có \(3(1) - 2(0) = 3 > 0\) (đúng).

3. Kết luận: Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ \(d\) chứa điểm \(N(1; 0)\) (không kể bờ \(d\)).

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Trong các cặp số \((0; 0)\), \((1; 1)\), \((-2; 3)\), cặp số nào là nghiệm của bất phương trình \(x - 4y + 2 \ge 0\)?

Bài 2: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(2x - y < 2\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).

6. Vận dụng thực tế & Mẹo ghi nhớ

📌 Bài toán lập mô hình thực tế:

Một xưởng sản xuất hai loại bánh: loại A và loại B. Để sản xuất 1 kg bánh loại A cần 2 kg bột mì và 1 kg đường. Để sản xuất 1 kg bánh loại B cần 1 kg bột mì và 2 kg đường. Xưởng hiện có tối đa 10 kg bột mì và 8 kg đường. Viết bất phương trình mô tả điều kiện ràng buộc về lượng bột mì.

Lời giải:

Gọi \(x\) (kg) là khối lượng bánh loại A và \(y\) (kg) là khối lượng bánh loại B mà xưởng sản xuất (\(x \ge 0, y \ge 0\)).

• Số kg bột mì dùng để làm \(x\) kg bánh A là \(2x\) (kg).

• Số kg bột mì dùng để làm \(y\) kg bánh B là \(1y\) (kg).

Tổng số kg bột mì sử dụng là \(2x + y\). Vì xưởng chỉ có tối đa 10 kg bột mì nên ta có bất phương trình:

\[ 2x + y \le 10 \]
💡 Mẹo chọn điểm kiểm tra nhanh:
  • Nếu đường thẳng \(\Delta\) không đi qua gốc tọa độ \(O(0;0)\), hãy luôn ưu tiên chọn điểm \(O(0;0)\) vì tính toán cực kỳ nhanh (vế trái luôn bằng \(0\)).
  • Nếu \(\Delta\) đi qua \(O(0;0)\), hãy chọn các điểm nằm trên trục tọa độ như \((1; 0)\) hoặc \((0; 1)\) để tối ưu thời gian tính toán.