Bài 3. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 3. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

2.1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
  1. \(2x + 3y > 6\);
  2. \(2^2 x + y \le 0\);
  3. \(2x^2 - y \ge 1\).
Lời giải:
  • a) Là bất phương trình bậc nhất hai ẩn (có dạng \(ax + by > c\) với \(a = 2, b = 3, c = 6\)).
  • b) Là bất phương trình bậc nhất hai ẩn (vì \(2^2 = 4\), bất phương trình tương đương \(4x + y \le 0\)).
  • c) Không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn (vì có chứa \(x^2\) là bậc hai đối với ẩn \(x\)).
2.2. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:
  1. \(3x + 2y \ge 300\);
  2. \(7x + 20y < 0\).
Lời giải:
  • a) Biểu diễn miền nghiệm của \(3x + 2y \ge 300\):
    • Vẽ đường thẳng \(d: 3x + 2y = 300\). Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \((0; 150)\) và \((100; 0)\).
    • Lấy điểm gốc tọa độ \(O(0; 0)\). Ta có: \(3(0) + 2(0) = 0 < 300\), do đó điểm \(O(0; 0)\) không thỏa mãn bất phương trình.
    • Kết luận: Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d\) không chứa gốc tọa độ \(O(0; 0)\) (kể cả đường thẳng \(d\)).
  • b) Biểu diễn miền nghiệm của \(7x + 20y < 0\):
    • Vẽ đường thẳng \(d': 7x + 20y = 0\). Đường thẳng \(d'\) đi qua gốc tọa độ \(O(0; 0)\) và điểm \((-20; 7)\).
    • Vì đường thẳng đi qua \(O(0;0)\), ta chọn điểm \(M(0; 1)\) để thử: \(7(0) + 20(1) = 20 > 0\), không thỏa mãn bất phương trình.
    • Kết luận: Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(d'\) không chứa điểm \(M(0; 1)\) (không kể đường thẳng \(d'\)).
2.3. Ông An muốn thuê một chiếc ô tô (có lái xe) trong một tuần. Giá thuê xe được cho như bảng sau:
Phí cố định
(nghìn đồng/ngày)		 Phí tính theo quãng đường di chuyển
(nghìn đồng/kilômét)
Từ thứ Hai đến thứ Sáu 900 8
Thứ Bảy và Chủ nhật 1 500 10
  1. Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong hai ngày cuối tuần. Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa \(x\) và \(y\) sao cho tổng số tiền ông An phải trả không quá 14 triệu đồng.
  2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình ở câu a trên mặt phẳng tọa độ.
Lời giải:
  • a) Thiết lập bất phương trình:
    • Từ thứ Hai đến thứ Sáu có 5 ngày. Phí cố định là: \(5 \times 900 = 4\,500\) (nghìn đồng). Phí di chuyển là \(8x\) (nghìn đồng).
    • Thứ Bảy và Chủ nhật có 2 ngày. Phí cố định là: \(2 \times 1\,500 = 3\,000\) (nghìn đồng). Phí di chuyển là \(10y\) (nghìn đồng).
    • Tổng phí cố định là: \(4\,500 + 3\,000 = 7\,500\) (nghìn đồng).
    • Tổng số tiền phải trả (tính theo nghìn đồng) là: \(7\,500 + 8x + 10y\).
    • Đổi 14 triệu đồng = \(14\,000\) nghìn đồng.
    • Vì tổng số tiền không quá 14 triệu đồng nên ta có bất phương trình:
      \(7\,500 + 8x + 10y \le 14\,000 \Leftrightarrow 8x + 10y \le 6\,500 \Leftrightarrow 4x + 5y \le 3\,250\).
    • Điều kiện thực tế: \(x \ge 0, y \ge 0\).
  • b) Biểu diễn miền nghiệm:
    • Vẽ đường thẳng \(\Delta: 4x + 5y = 3\,250\). Đường thẳng đi qua hai điểm \((0; 650)\) và \((812,5; 0)\).
    • Thử điểm \(O(0; 0)\): \(4(0) + 5(0) = 0 \le 3\,250\) (đúng).
    • Kết hợp với điều kiện \(x \ge 0, y \ge 0\), miền nghiệm của bất phương trình là miền tam giác \(OAB\) (kể cả các cạnh) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), với \(O(0; 0)\), \(A(812,5; 0)\) và \(B(0; 650)\).