Câu 1. Viết tập hợp \(A = \{x \in \mathbb{Z} \mid 2x^2 - 3x + 1 = 0\}\) bằng cách liệt kê các phần tử.
Giải thích: Giải phương trình \(2x^2 - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = \frac{1}{2}\). Vì điều kiện phần tử \(x \in \mathbb{Z}\) (số nguyên) nên ta chỉ chọn \(x = 1\). Vậy \(A = \{1\}\).
Câu 2. Cho tập hợp \(S = \{a; b; c\}\). Số tập con của tập hợp \(S\) là:
Giải thích: Một tập hợp có \(n\) phần tử thì có tổng cộng \(2^n\) tập con. Tập hợp \(S\) có 3 phần tử nên số tập con là \(2^3 = 8\).
Câu 3. Cho hai tập hợp \(A = \{1; 2; 3; 4; 5\}\) và \(B = \{2; 4; 6; 8\}\). Tập hợp \(A \cap B\) là:
Giải thích: Giao của hai tập hợp \(A \cap B\) gồm các phần tử vừa thuộc \(A\) vừa thuộc \(B\). Hai phần tử chung của \(A\) và \(B\) là 2 và 4. Do đó \(A \cap B = \{2; 4\}\).
Câu 4. Cho hai tập hợp \(A = \{0; 1; 2; 3\}\) và \(B = \{2; 3; 4; 5\}\). Tập hiệu \(A \setminus B\) bằng:
Giải thích: Hiệu \(A \setminus B\) gồm các phần tử thuộc \(A\) nhưng không thuộc \(B\). Các phần tử thuộc \(A\) mà không thuộc \(B\) là 0 và 1. Vậy \(A \setminus B = \{0; 1\}\).
Câu 5. Ký hiệu nào sau đây thể hiện tập hợp các số thực \(\mathbb{R}\) được biểu diễn dưới dạng khoảng?
Giải thích: Tập hợp số thực \(\mathbb{R}\) gồm tất cả các số từ âm vô cùng đến dương vô cùng, được biểu diễn là khoảng \((-\infty; +\infty)\).
Câu 6. Cho hai khoảng \(A = (-2; 3)\) và \(B = [1; 5]\). Khi đó tập hợp \(A \cup B\) là:
Giải thích: Hợp của hai tập hợp \(A \cup B\) chứa tất cả các phần tử thuộc \(A\) hoặc thuộc \(B\). Biểu diễn trên trục số, ta lấy từ đầu mút nhỏ nhất \(-2\) (ngoặc tròn) đến đầu mút lớn nhất \(5\) (ngoặc vuông). Vậy \(A \cup B = (-2; 5]\).
Câu 7. Cho tập hợp \(A = [-3; 2)\). Phần bù của \(A\) trong \(\mathbb{R}\) (kí hiệu \(C_{\mathbb{R}}A\)) là:
Giải thích: Phần bù \(C_{\mathbb{R}}A = \mathbb{R} \setminus [-3; 2)\). Vì \(A\) chứa \(-3\) (ngoặc vuông) nên phần bù không chứa \(-3\) (ngoặc tròn). Vì \(A\) không chứa \(2\) (ngoặc tròn) nên phần bù chứa \(2\) (ngoặc vuông). Do đó \(C_{\mathbb{R}}A = (-\infty; -3) \cup [2; +\infty)\).
Câu 8. Khẳng định nào sau đây là **sai** về mối quan hệ giữa các tập hợp số?
Giải thích: Mối quan hệ tập con đúng là \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\). Khẳng định \(\mathbb{R} \subset \mathbb{Q}\) là sai vì có các số vô tỉ (như \(\sqrt{2}, \pi\)) thuộc \(\mathbb{R}\) nhưng không thuộc \(\mathbb{Q}\).
Câu 9. Cho hai tập hợp khác rỗng \(A = (m - 1; 4]\) và \(B = [-2; 2m + 2]\). Điều kiện của tham số \(m\) để \(A \subset B\) là:
Giải thích:
- Để \(A \neq \varnothing \Rightarrow m - 1 < 4 \Leftrightarrow m < 5\).
- Để \(B \neq \varnothing \Rightarrow -2 \le 2m + 2 \Leftrightarrow m \ge -2\).
- Để \(A \subset B\), ta cần:
1) \(m - 1 \ge -2 \Leftrightarrow m \ge -1\)
2) \(2m + 2 \ge 4 \Leftrightarrow 2m \ge 2 \Leftrightarrow m \ge 1\)
Kết hợp với điều kiện bài toán, ta thu được \(-1 \le m \le 1\) (với \(m=1\) thì \(A = (0; 4]\) và \(B = [-2; 4]\) thỏa mãn \(A \subset B\)).
Câu 10 Thực tế. Lớp 10A có 45 học sinh. Trong đợt khảo sát câu lạc bộ, có 25 học sinh đăng ký CLB Bóng đá, 20 học sinh đăng ký CLB Cầu lông, và 8 học sinh đăng ký tham gia cả hai câu lạc bộ. Hỏi có bao nhiêu học sinh **không đăng ký** câu lạc bộ nào trong hai CLB trên?
Giải thích:
Sử dụng công thức tính số phần tử của hợp hai tập hợp:
\(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)\)
- Số học sinh đăng ký ít nhất một trong hai CLB là: \(25 + 20 - 8 = 37\) (học sinh).
- Số học sinh không đăng ký CLB nào là: \(45 - 37 = 8\) (học sinh).