Mind Map

BÀI 2. TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP

1. Các khái niệm cơ bản về tập hợp

Tên tập hợp kí hiệu là: A;B;C;....

Phần tử của tập hợp kí hiệu là: a;b;c;...

Có hai cách mô tả một tập hợp

Cách 1: Liệt kê. Ví dụ:$A=\{1;2;3;4;5\}$

Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng. Ví dụ:$A=\{x\in\mathbb{N^*}|1\le x\le 5\}$

Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng. Kí hiệp là: $\varnothing$

Nếu mọi phần tử của tập hợp T đều là phần tử của tập hợp S thì ta nói T là một tập hợp con của S và viết là $T\subset S$.

Hai tập hợp S và T được gọi là hai tập hợp bằng nhau nếu mỗi phần tử của T cũng là phần tử của tập hợp S và ngược lại. Kí hiệu là $S=T$.

2. Các tập hợp số

Các tập hợp số là: $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$

Các tập hợp con của $\mathbb{R}$ là: Khoảng (hai ngoặc tròn), nửa khoảng (một ngoặc tròn và một ngoặc vuông), đoạn (hai ngoặc vuông).

3. Các phép toán trên tập hợp số

Giao của hai tập hợp A và B kí hiệu là: $A\cap B$

Hợp của hai tập hợp A và B kí hiệu là: $A\cup B$

Ví dụ – Tập hợp và phần tử

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1

Hãy liệt kê các phần tử của các tập hợp sau:

a) $A=\{x\in\mathbb{N}\mid x<6\}$;

b) $B=\{x\in\mathbb{Z}\mid 3x^2-7x+2=0\}$.

Lời giải:

a) Vì $x\in\mathbb{N}$ và $x<6$ nên $x=0,1,2,3,4,5$.

Do đó: $A=\{0;1;2;3;4;5\}$.

b) Giải phương trình: $3x^2-7x+2=0 \Leftrightarrow x=\dfrac13, x=2$

Vì $x\in\mathbb{Z}$ nên chỉ nhận $x=2$.

Vậy $B=\{2\}$.

Ví dụ 2

Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của các tập hợp sau:

a) $A=\{1;2;3;4;6;12\}$;

b) $B=\{-3;-2;-1;0;1;2;3\}$.

Lời giải:

a) Các phần tử của $A$ là các ước dương của $12$.

Do đó: $A=\{x\in\mathbb{N}\mid x \text{là ước của} 12\}$.

b) Các phần tử của $B$ là các số nguyên có giá trị tuyệt đối không vượt quá $3$.

Do đó: $B=\{x\in\mathbb{Z}\mid |x|\le 3\}$.

Ví dụ 3

Cho tập hợp $S=\{1;2;3\}$. Hãy tìm tất cả các tập hợp con của $S$.

Lời giải:

Tập hợp $S$ có $3$ phần tử nên có $2^3=8$ tập hợp con.

$\varnothing$
$\{1\}$
$\{2\}$
$\{3\}$
$\{1;2\}$
$\{1;3\}$
$\{2;3\}$
$\{1;2;3\}$

Ví dụ 4

Cho hai tập hợp:

$E=\{x\in\mathbb{R}\mid x^2-5x+6=0\}$

$F=\{x\in\mathbb{N}\mid 2\le x\le 3\}$

Chứng minh $E=F$.

Lời giải:

Giải phương trình:

$$x^2-5x+6=0 \Leftrightarrow (x-2)(x-3)=0.$$

Suy ra $x=2$ hoặc $x=3$.

Do đó $E=\{2;3\}$.

Mặt khác, $F=\{x\in\mathbb{N}\mid 2\le x\le 3\}=\{2,3\}$.

Vậy $E=F$.

Ví dụ 5

Viết các tập hợp sau dưới dạng khoảng trong $\mathbb{R}$:

a) $A=\{x\in\mathbb{R}\mid 2\le x\le 7\}$;

b) $B=\{x\in\mathbb{R}\mid x>-1\}$.

Lời giải:

a) $A=[2;7]$.

b) $B=(-1;+\infty)$.

Ví dụ 6

Cho hai tập hợp sau:

$A=\{1;2;3;4;5\}$;

$B=\{3;4;5;6;7\}$;

Tìm $A\cup B,\ A\cap B,\ A\setminus B,\ B\setminus A$.

Lời giải:

Hợp: $A\cup B$ là tập hợp các phần tử thuộc $A$ hoặc $B$:

$A\cup B=\{1;2;3;4;5;6;7\}$.

Giao: $A\cap B$ là tập hợp các phần tử thuộc cả $A$ và $B$:

$A\cap B=\{3;4;5\}$.

Hiệu: $A\setminus B$ là các phần tử thuộc $A$ nhưng không thuộc $B$:

$A\setminus B=\{1;2\}$.

Hiệu: $B\setminus A$ là các phần tử thuộc $B$ nhưng không thuộc $A$:

$B\setminus A=\{6;7\}$.

Ví dụ 7

Cho hai tập hợp sau:

$A=[-3;7)$;

$B=(-1;9)$;

Tìm $A\cup B,\ A\cap B,\ A\setminus B,\ B\setminus A,\ C_{\mathbb{R}}A$.

Lời giải:

Hợp:

$A\cup B=[-3;9)$.

Giao:

$A\cap B=(-1;7)$.

Hiệu:

$A\setminus B=[-3;-1]$.

Hiệu:

$B\setminus A=[7;9)$.

Phần bù của $A$ trong $\mathbb{R}$:

$C_{\mathbb{R}}A=(-\infty;-3)\cup[7;+\infty)$.