Bài 2. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

Bài 2. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

1.8. Gọi \(X\) là tập hợp các quốc gia tiếp giáp với Việt Nam. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp \(X\) và biểu diễn tập \(X\) bằng biểu đồ Ven.
Lời giải:
  • Các phần tử của tập hợp \(X\): \(X = \{\text{Trung Quốc}; \text{Lào}; \text{Campuchia}\}\).
  • Biểu diễn bằng biểu đồ Ven:
    X Trung Quốc Lào Campuchia
1.9. Kí hiệu \(E\) là tập hợp các quốc gia tại khu vực Đông Nam Á.
  1. Nêu ít nhất hai phần tử thuộc tập hợp \(E\).
  2. Nêu ít nhất hai phần tử không thuộc tập hợp \(E\).
  3. Liệt kê các phần tử thuộc tập hợp \(E\). Tập hợp \(E\) có bao nhiêu phần tử?
Lời giải:
  • a) Hai phần tử thuộc tập hợp \(E\): Việt Nam, Thái Lan.
  • b) Hai phần tử không thuộc tập hợp \(E\): Nhật Bản, Pháp.
  • c) Liệt kê các phần tử của tập hợp \(E\):
    \(E = \{\text{Việt Nam}; \text{Lào}; \text{Campuchia}; \text{Thái Lan}; \text{Myanmar}; \text{Malaysia}; \text{Singapore}; \text{Indonesia}; \text{Brunei}; \text{Philippines}; \text{Đông Timor}\}\).
    Tập hợp \(E\) có 11 phần tử.
1.10. Hãy viết tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp:
\(A = \{0; 4; 8; 12; 16\}\).
Lời giải:

Các phần tử của \(A\) đều là các số tự nhiên chia hết cho 4 và không vượt quá 16.

Do đó, ta có thể viết:

  • \(A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ chia hết cho 4 và } x \le 16\}\); hoặc
  • \(A = \{4k \mid k \in \mathbb{N}, 0 \le k \le 4\}\).
1.11. Trong các tập hợp sau, tập nào là tập rỗng?
\(A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 6 = 0\}\);      \(B = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 - 6 = 0\}\).
Lời giải:

Giải phương trình \(x^2 - 6 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 6 \Leftrightarrow x = \sqrt{6}\) hoặc \(x = -\sqrt{6}\).

  • Vì \(\sqrt{6}\) và \(-\sqrt{6}\) là các số thực (\(\in \mathbb{R}\)) nên \(A = \{-\sqrt{6}; \sqrt{6}\} \neq \emptyset\).
  • Vì \(\sqrt{6}\) và \(-\sqrt{6}\) không phải là các số nguyên (\(\notin \mathbb{Z}\)) nên không có số nguyên nào thỏa mãn phương trình. Do đó **\(B\) là tập rỗng** (\(B = \emptyset\)).
1.12. Cho \(X = \{a; b\}\). Các cách viết sau đúng hay sai? Giải thích kết luận đưa ra.
  1. \(a \subset X\);
  2. \(\{a\} \subset X\);
  3. \(\emptyset \in X\).
Lời giải:
  • a) Sai. Vì \(a\) là một phần tử của \(X\), quan hệ giữa phần tử và tập hợp phải dùng kí hiệu thuộc (\(\in\)), tức là \(a \in X\). Kí hiệu \(\subset\) chỉ dùng giữa hai tập hợp.
  • b) Đúng. Vì \(\{a\}\) là một tập hợp con gồm phần tử \(a\) thuộc tập hợp \(X\).
  • c) Sai. Vì tập rỗng \(\emptyset\) là một tập hợp con của \(X\) (\(\emptyset \subset X\)), chứ không phải là một phần tử thuộc \(X\).
1.13. Cho \(A = \{2; 5\}\), \(B = \{5; x\}\), \(C = \{2; y\}\). Tìm \(x\) và \(y\) để \(A = B = C\).
Lời giải:

Hai tập hợp bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng các phần tử.

  • Để \(A = B \Leftrightarrow \{2; 5\} = \{5; x\} \Rightarrow x = 2\).
  • Để \(A = C \Leftrightarrow \{2; 5\} = \{2; y\} \Rightarrow y = 5\).

Vậy: \(x = 2\) và \(y = 5\).

1.14. Cho \(A = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| < 4\}\); \(B = \{x \in \mathbb{Z} \mid (5x - 3x^2)(x^2 + 2x - 3) = 0\}\).
  1. Liệt kê các phần tử của hai tập hợp \(A\) và \(B\).
  2. Hãy xác định các tập hợp \(A \cap B\), \(A \cup B\) và \(A \setminus B\).
Lời giải:
  • a) Liệt kê các phần tử:
    • Tập hợp \(A\): Vì \(x \in \mathbb{Z}\) và \(|x| < 4 \Rightarrow -4 < x < 4\).
      Do đó: \(A = \{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3\}\).
    • Tập hợp \(B\): Giải phương trình \((5x - 3x^2)(x^2 + 2x - 3) = 0\):
      TH1: \(5x - 3x^2 = 0 \Leftrightarrow x(5 - 3x) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \displaystyle\frac{5}{3}\).
      TH2: \(x^2 + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = -3\).
      Vì \(x \in \mathbb{Z}\) nên ta nhận các giá trị nguyên: \(x \in \{0; 1; -3\}\).
      Do đó: \(B = \{-3; 0; 1\}\).
  • b) Xác định các tập hợp:
    • \(A \cap B = \{-3; 0; 1\}\) (chính là tập \(B\)).
    • \(A \cup B = \{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3\}\) (chính là tập \(A\)).
    • \(A \setminus B = \{-2; -1; 2; 3\}\).
1.15. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.
  1. \((-4; 1] \cap [0; 3)\);
  2. \((0; 2] \cup (-3; 1]\);
  3. \((-2; 1) \cap (-\infty; 1]\);
  4. \(\mathbb{R} \setminus (-\infty; 3]\).
Lời giải:
  • a) \((-4; 1] \cap [0; 3) = [0; 1]\).
  • b) \((0; 2] \cup (-3; 1] = (-3; 2]\).
  • c) \((-2; 1) \cap (-\infty; 1] = (-2; 1)\).
  • d) \(\mathbb{R} \setminus (-\infty; 3] = (3; +\infty)\).
1.16. Để phục vụ cho một hội nghị quốc tế, ban tổ chức huy động 35 người phiên dịch tiếng Anh, 30 người phiên dịch tiếng Pháp, trong đó có 16 người phiên dịch được cả hai thứ tiếng Anh và Pháp. Hãy trả lời các câu hỏi sau:
  1. Ban tổ chức đã huy động bao nhiêu người phiên dịch cho hội nghị đó?
  2. Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Anh?
  3. Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Pháp?
Lời giải:

Gọi \(A\) là tập hợp người phiên dịch tiếng Anh \(\Rightarrow n(A) = 35\).

Gọi \(B\) là tập hợp người phiên dịch tiếng Pháp \(\Rightarrow n(B) = 30\).

Tập hợp người phiên dịch cả hai tiếng Anh và Pháp là \(A \cap B \Rightarrow n(A \cap B) = 16\).

  • a) Tổng số người phiên dịch được huy động là số phần tử của tập hợp \(A \cup B\):
    \(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 35 + 30 - 16 = 49\) (người).
  • b) Số người chỉ phiên dịch được tiếng Anh là:
    \(35 - 16 = 19\) (người).
  • c) Số người chỉ phiên dịch được tiếng Pháp là:
    \(30 - 16 = 14\) (người).