📘 BÀI 1. MỆNH ĐỀ
Chương I. Mệnh đề và Tập hợp
1. Khái niệm Mệnh đề
Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai.
- Một khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng.
- Một khẳng định sai gọi là mệnh đề sai.
- Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
a) Mệnh đề chứa biến
Khẳng định chứa tham số chưa xác định tính đúng sai (chỉ đúng hoặc sai khi cho giá trị cụ thể của biến) được gọi là mệnh đề chứa biến.
b) Mệnh đề phủ định
Để phủ định một mệnh đề \(P\), ta thêm (hoặc bớt) từ "không" hoặc "không phải" vào trước vị ngữ của mệnh đề đó. Ký hiệu mệnh đề phủ định là \(\overline{P}\).
- Nếu \(P\) đúng thì \(\overline{P}\) sai.
- Nếu \(P\) sai thì \(\overline{P}\) đúng.
2. Các dạng Mệnh đề & Ký hiệu Toán học
a) Mệnh đề kéo theo (\(P \Rightarrow Q\))
Mệnh đề "Nếu \(P\) thì \(Q\)" được gọi là mệnh đề kéo theo, ký hiệu là \(P \Rightarrow Q\).
Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) chỉ sai khi \(P\) đúng mà \(Q\) sai.
Trong các định lý toán học, khi \(P \Rightarrow Q\) đúng:
- \(P\) là điều kiện đủ để có \(Q\).
- \(Q\) là điều kiện cần để có \(P\).
b) Mệnh đề đảo & Mệnh đề tương đương (\(P \Leftrightarrow Q\))
- Mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\).
- Nếu cả hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) đều đúng thì \(P\) và \(Q\) là hai mệnh đề tương đương, ký hiệu là \(P \Leftrightarrow Q\) (Đọc là: "\(P\) khi và chỉ khi \(Q\)" hoặc "\(P\) là điều kiện cần và đủ để có \(Q\)").
c) Ký hiệu \(\forall\) (với mọi) và \(\exists\) (tồn tại)
- \(\forall x \in X, P(x)\): "Với mọi \(x\) thuộc \(X\), \(P(x)\) đúng".
- \(\exists x \in X, P(x)\): "Tồn tại ít nhất một \(x\) thuộc \(X\) sao cho \(P(x)\) đúng".
3. Ví dụ minh họa
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề? Xét tính đúng sai của nó.
a) "Phan Thiết là thủ phủ của tỉnh Bình Thuận."
b) "Mấy giờ rồi?"
c) "\(3 + 5 < 7\)"
a) Là mệnh đề ĐÚNG.
b) Là câu hỏi, nên KHÔNG PHẢI là mệnh đề.
c) Là mệnh đề SAI (vì \(3 + 5 = 8 > 7\)).
Lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai:
a) \(P\): "\(\forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 > 0\)"
b) \(Q\): "\(\exists x \in \mathbb{Q}, x^2 = 2\)"
a) Phủ định của \(P\) là \(\overline{P}\): "\(\exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \le 0\)".
Mệnh đề \(\overline{P}\) là SAI (vì \(x^2 + 1 > 0\) với mọi số thực \(x\)).
b) Phủ định của \(Q\) là \(\overline{Q}\): "\(\forall x \in \mathbb{Q}, x^2 \ne 2\)".
Mệnh đề \(\overline{Q}\) là ĐÚNG (vì \(\sqrt{2}\) là số vô tỷ, không thuộc \(\mathbb{Q}\)).
4. Luyện tập tự giải
a) \(A\): "Số 15 chia hết cho 2."
b) \(B\): "Tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau."
a) Phát biểu dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ.
b) Nêu mệnh đề đảo và xét tính đúng sai của mệnh đề đảo đó.
a) Mọi số thực bình phương lên đều lớn hơn hoặc bằng 0.
b) Có ít nhất một số tự nhiên là số chẵn nguyên tố.
5. Vận dụng thực tế
Trong thực tế và khoa học máy tính (lập trình), mệnh đề được dùng để thiết lập các điều kiện logic (Boolean True/False).
Tình huống: Một hệ thống bảo mật ngân hàng yêu cầu:
"Nếu (Mật khẩu đúng) VÀ (Nhập mã OTP đúng) thì (Đăng nhập thành công)."
Đặt các mệnh đề:
- \(P\): "Mật khẩu nhập đúng"
- \(Q\): "Mã OTP nhập đúng"
- \(R\): "Đăng nhập thành công"
Mệnh đề điều kiện kéo theo: \((P \text{ và } Q) \Rightarrow R\).
Ứng dụng: Hệ thống chỉ mở cửa khóa giao dịch (\(R\) đúng) khi cả hai mệnh đề thành phần \(P\) và \(Q\) đồng thời đúng. Nếu phủ định mệnh đề điều kiện, ta biết ngay rủi ro bảo mật xuất hiện từ đâu.
6. Ghi nhớ & Mẹo giải toán
| Ký hiệu ban đầu | Ký hiệu phủ định |
|---|---|
| \(\forall\) (Với mọi) | \(\exists\) (Tồn tại) |
| \(\exists\) (Tồn tại) | \(\forall\) (Với mọi) |
| \(=\) | \(\ne\) |
| \(>\) | \(\le\) |
| \(<\) | \(\ge\) |
Mệnh đề dạng: \(P \Rightarrow Q\)
- Cứ đứng trước mũi tên (\(P\)) là điều kiện ĐỦ.
- Cứ đứng sau mũi tên (\(Q\)) là điều kiện CẦN.