BÀI 1. MỆNH ĐỀ
Câu khẳng định đúng là mệnh đề.
Câu khẳng định sai cũng là mệnh đề.
Câu "n chia hết cho 2" là mệnh đề chứa biến.
Mệnh đề phủ định của \(P\) kí hiệu là \(\bar{P}.\)
Để phủ định một mệnh đề ta thêm chữ "không".
Mệnh đề kéo theo kí hiệu là \(P\Rightarrow Q\).
Mệnh đề đảo của \(P\Rightarrow Q\) là \(Q\Rightarrow P\).
Hai mệnh đề tương đương kí hiệu là \(P\Leftrightarrow Q\)
Kí hiệu ∀ đọc là "với mọi".
Kí hiệu ∃ đọc là "tồn tại".
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề? Câu nào không là mệnh đề?
-
a) Phương trình $x^2-5x+6=0$ có hai nghiệm nguyên.
b) 6 là số nguyên tố.
c) Dấu hiệu chia hết cho 3 là gì?
d) Bạn có ý thức tự học đấy!
a) Vì phương trình $x^2-5x+6=0$ có hai nghiệm nguyên là $x=2, x=3$ nên câu a là đúng. Do đó câu a là mệnh đề (Mệnh đề đúng).
b) Vì 6 không phải là số nguyên tố nên câu b là sai. Do đó câu b là mệnh đề (Mệnh đề sai).
c) Vì câu c là câu hỏi nên câu c không phải là mệnh đề.
d) Vì câu d là câu cảm thán nên câu d không phải là mệnh đề.
Xét câu “$x < 7$”. Hãy tìm hai giá trị thực của $x$ sao cho từ câu đã cho, ta nhận được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.
Khi $x = 5$ thì câu trở thành “$5 < 7$”, đây là mệnh đề đúng.
Khi $x = 8$ thì câu trở thành “$8 < 7$”, đây là mệnh đề sai.
P: “9 là số chính phương”.
Q: “Phương trình $x^2 - 7x + 12 = 0$ có nghiệm”.
Đối với mệnh đề P:
P là mệnh đề đúng vì $9 = 3^2$.
Phủ định của P là: “9 không là số chính phương”.
Mệnh đề phủ định này là sai.
Đối với mệnh đề Q:
Phương trình $x^2 - 7x + 12 =0$ có nghiệm $x=3, x=4$.
Do đó Q là mệnh đề đúng.
Phủ định của Q là: “Phương trình $x^2 - 7x + 12 = 0$ vô nghiệm”.
Mệnh đề phủ định này là sai.
$P$: "Tam giác $ABC$ đều";
$Q$: "Tam giác $ABC$ có ba cạnh bằng nhau".
Phát biểu mệnh đề "$P \Rightarrow Q$" và cho biết tính đúng sai của mệnh đề đó.
Lời giải:
Mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$ được phát biểu là:
“Nếu tam giác $ABC$ đều thì tam giác $ABC$ có ba cạnh bằng nhau.”
Đây là mệnh đề đúng, vì theo định nghĩa, tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.
Lời giải:
Mệnh đề đảo là: “Nếu $a$ và $b$ chia hết cho $c$ thì $a+b$ chia hết cho $c$”.
Thật vậy, nếu $a = kc$ và $b = mc$ với $k, m \in \mathbb{Z}$ thì $a+b = (k+m)c$, nên $a+b$ chia hết cho $c$.
Do đó mệnh đề đảo là đúng.
$P$: “Tam giác $ABC$ đều”;
$Q$: “Tam giác $ABC$ có ba cạnh bằng nhau”.
Hãy phát biểu mệnh đề tương đương $P \Leftrightarrow Q$ và xác định tính đúng sai của mệnh đề tương đương này.
Lời giải:
Mệnh đề tương đương $P \Leftrightarrow Q$ được phát biểu là:
“Tam giác $ABC$ đều khi và chỉ khi tam giác $ABC$ có ba cạnh bằng nhau.”
Mệnh đề này là đúng, vì cả hai mệnh đề $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ đều đúng.
a) Bình phương mọi số thực đều dương;
b) Có một số nguyên cộng với hai bằng không.
Lời giải:
a) Mệnh đề được viết là: $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 > 0$.Mệnh đề này là sai, vì lấy $x = 0$ thì $x^2 = 0$ không phải là số dương.
b) Mệnh đề được viết là: $\exists x \in \mathbb{Z},\ x + 2 = 0$.
Mệnh đề này là đúng, vì lấy $x = -2 \in \mathbb{Z}$ thì $x + 2 = 0$.
a) $P$: "$\forall x\in\mathbb{R},\,x^2-4x+5>0$"
b) $Q$: "$\exists x\in\mathbb{Z},\,3x+9=0$".
Lời giải:
a) Ta có $x^2-4x+5=(x-2)^2+1>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ nên mệnh đề $P$ là đúng.Phủ định của $P$ là: $\exists x\in\mathbb{R},\ x^2-4x+5\le 0$.
b) Ta có $3x+9=0 \Leftrightarrow x=-3 \in \mathbb{Z}$ nên mệnh đề $Q$ là đúng.
Phủ định của $Q$ là: $\forall x\in\mathbb{Z},\ 3x+9\ne 0$.
